Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä

Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 107:
 
=== Vaimennettu harmoninen värähtely ===
 
Vaimennettuun harmoniseen oskillaattoriin vaikuttaa palauttavan voiman ''-kx'' lisäksi vaimennusvoima ''-bv'', jossa ''v'' on värähtelijän hetkellinen nopeus ja ''b'' on vakio. Värähtelijän liikeyhtälö on siten
 
<math>m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -b\frac{dx(t)}{dt} - kx(t)</math> .
 
Liikeyhtälö on edelleen toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö, kuten vaimentamattoman värähtelijänkin liikeyhtälö oli, mutta sen ratkaisut ovat hieman monimutkaisempia. ''Heikon vaimennnuksen'' tapauksessa, eli kun ''b'' on hyvin pieni ja yhden jaksonajan <math>T</math> aikana tapahtuu vain vähän vaimennusta, on ratkaisu likimäärin
 
<math>x(t) = e^{-\frac{bt}{2m}}\left( A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + B\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\right) </math>,
 
eli värähtelyn amplitudi pienenee eksponentiaalisesti ajan funktiona. Vakiot ''A'' ja ''B'' riippuvat oskillaattorin alkunopeudesta ja -sijainnista samalla tavalla kuin vaimentamattomassa tapauksessa.
 
Vaimennusvoimien fysikaalinen alkuperä ovat yleensä erilaiset kitkavoimat, jotka muuttavat värähtelijän kineettistä energiaa lämpöenergiaksi.
 
'''Tehtävä:''' Ilmoita parametrien ''b'' ja ''m'' avulla, kuinka kauan kestää että värähtelyamplitudi putoaa a) puoleen b) neljäsosaan c) kymmenesosaan alkuperäisestä ?
 
'''Tehtävä:''' Kuinka kauan kestää, että oskillaattorin kokonaisenergia (kineettinen + potentiaali) putoaa puoleen ?
 
=== Pakotettu värähtely ===