Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 19:
==Kinematiikka==
Kinematiikan peruslakeja ovat matkan, nopeuden, vauhdin sekä kiihtyvyyden määrittelyt. Yksiulotteisessa liikkeessä kappaleen sijainti voidaan ilmoittaa yhdellä luvulla ''x'', jolla on etäisyyden dimensiot (SI-yksikkö metri). Kolmiulotteisessa liikkeessä sijainti ilmaistaan paikkavektorilla <math>\mathbf{r}</math>, jonka komponentit ovat kappaleen ''x''-, ''y''- ja ''z''-koordinaatit jossain koordinaatistossa (kaikki koordinaatistot ovat samanarvoisia, riippumatta siitä mihin niiden origo on asetettu ja minkä suuntaisia koordinaattiakselit ovat).
'''Nopeus, vauhti ja kiihtyvyys'''
Kappaleen nopeus v määritellään sijainnin aikaderivaattana, siis yksiulotteiselle liikkeelle
<math>v = \frac{dx(t)}{dt}</math> , ja moniulotteisessa liikkeessä
<math>\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = v_x \mathbf{i} + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k}</math> .
Kappaleen ''vauhti'' on nopeuden suuruus, siis nopeusskalaarin ''v'' itseisarvo ''|v|'' tai nopeusvektorin <math>\mathbf{v}</math> normi
<math>|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math> .
Kiihtyvyys <math>\mathbf{a}</math> puolestaan on nopeuden aikaderivaatta:
<math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}</math>
'''Epäkarteesiset koordinaatistot ja ympyräliike'''
Kappaleen liike voidaan esittää myös muiden kuin karteesisten ''x''-, ''y''- ja ''z''-koordinaattien avulla. Kaksiulotteisessa tasossa tapahtuvan liikkeen tapauksessa eräs vaihtoehtoinen esitystapa on napakoordinaatisto, jossa sijainti ilmoitetaan muuttujilla <math>r</math>, <math>\theta</math> jotka määritellään yhtälöillä
<math>x = r\cos \theta</math> , ja
<math>y = r\sin \theta</math> .
Erityisen hyödyllisiä napakoordinaatit ovat esitettäessä ''ympyräliikettä'', jossa <math>r</math> pysyy vakiona ja <math>\theta</math> muuttuu vakionopeudella. Tällöin ''x''-, ja ''y''-koordinaatit ovat ajan ''t'' funktiona
<math>x(t) = r \cos \left(\omega t + \delta\right)</math>
<math>y(t) = r \sin \left(\omega t + \delta\right)</math>,
jossa <math>\omega</math> on ympyräliikkeen ''kulmanopeus'' ja <math>\delta</math> ''vaihe''. Ympyräliikkeessä, jossa kappaleen vauhti (tai kulmanopeus) ei muutu, kiihtyvyysvektori osoittaa koko ajan kappaleesta ympyräradan keskipisteeseen.
'''Tehtävä:''' Jos kappale kiertää origoa etäisyydellä <math>r</math> ja kulmanopeudella <math>\omega</math>, mitä ovat kappaleen vauhti ''v'' ja kiihtyvyysvektorin normi <math>|\mathbf{a}|</math> ?
==Dynamiikka==
| |||