Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 241:
Mekaniikan laskuissa esiintyy usein ongelmia, joissa kappale on rajoitettu kulkemaan jollain pinnalla tai käyrällä ja siihen vaikuttavat ''sidosvoimat'' estävät sen pääsyn muihin pisteisiin. Yksi esimerkki on kappaleen liukuminen kaltevalla tasolla, jossa oletetaan että kappale ei voi upota alustaan. Monesti sidosvoimien laskenta voi kuitenkin olla vaivalloista, ja tällöin saattaa olla helpompaa määritellä systeemille yleistetyt vapausasteet siten että sidosehtojen vastaiset pisteet eivät edes ole mahdollisia, ja ratkaista sen jälkeen liikeyhtälöt Lagrangen mekaniikalla.
==Determinismi==
Koska klassisen mekaniikan liikeyhtälöt ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä ajan suhteen, on periaatteessa mahdollista laskea eristetyn mekaanisen systeemin tilan aikakehitys mielivaltaisen pitkälle tulevaisuuteen, kunhan alkuehdot eli vapausasteet <math>q_i</math> ja niiden muutosnopeudet <math>\dot{q}_i</math>, sekä vuorovaikutuslaeissa esiintyvät parametrit, tiedetään jollain alkuhetkellä tarkasti. Tätä kutsutaan klassisen mekaniikan determinismiksi.
Käytännössä useista kappaleista koostuvan systeemin aikakehitystä ei kuitenkaan ole käytännössä mahdollista ennakoida tällä tavalla, sillä pienetkin epätarkkuudet alkuehdoissa ja luonnonvakioiden (gravitaatiovakio, tyhjiön permittiivisyys...) tunnetuissa arvoissa voivat aiheuttaa yllättävän suuren virheen pidemmän aikavälin ennusteissa, jos systeemi on riittävän monimutkainen. Tätä ilmiötä kutsutaan nimellä ''deterministinen kaaos'', ja se tulee esille muun muassa juoksevan aineen virtausilmiöissä kuten Maan ilmakehän sääilmiöissä ("perhosefekti").
'''Tehtävä''': Etsi tietoa "perhosefektistä", ja selvitä pääpiirteittäin, mitä tarkoittaa ''Lyapunovin eksponentti''.
== Värähdysliike ==
Rivi 287 ⟶ 295:
Monissa tilanteissa mekaanisia objekteja, kuten jousia tai heilureita voidaan mallintaa harmonisina oskillaattoreina, mikäli niiden venymät tai poikkeamat ovat riittävän pieniä. Esim. matemaattinen tai fysikaalinen heiluri on pienillä heilahdusamplitudeilla melko tarkasti harmonisen oskillaattorin tapainen, mutta suurempien amplitudien tapauksessa liikeradan ratkaiseminen on monimutkaisempaa, ja tällöin funktion ''x(t)'' esittämiseen tarvitaan trigonometrisia funktioita harminaisempaa erikoisfunktiota (elliptinen integraali).
Mikäli jokin fysikaalinen systeemi koostuu useista harmonisista oskillaattoreista, joilla on vapausasteet <math>x_1 , x_2 , x_3, \dots</math> ja joiden kaikkien väliset voimat riippuvat lineaarisesti niiden etäisyyksistä toisistaan, voidaan aina tehdä jako ''normaalimoodeihin'', jolloin jotkin muuttujien <math>x_i</math> ''lineaarikombinaatiot'' (vakioilla painotetut summat) noudattavat kukin riippumattomien harmonisten oskillaattoreiden liikeyhtälöitä. Tällaisella kytkettyjen harmonisten oskillaattorien mallilla voidaan laskea likimääräisesti esim. moniatomisten molekyylien värähtelytaajuuksia.
Useankaan kytketyn harmonisen oskillaattorin muodostamassa systeemissä ei esiinny aiemmin mainittua ''determinististä kaaosta'', mutta epäharmonisilla värähtelijöillä (joilla voima ei ole venymän lineaarinen funktio) sellaista voi tapahtua.
'''Tehtävä''': Kuvitellaan systeemi, jossa ''x''-akselilla on jonossa kappaleita, joilla kaikilla on sama massa ''m'', ja jotka kaikki on kytketty viereisiin kappaleisiin jousilla joiden tasapainopituus on ''L'' ja jousivakio ''k''. Selvitä jostain lähteestä, mitä tekemistä tällä mallilla on kiinteiden aineiden fysiikan (condensed matter physics) kanssa. Mitä tarkoittaa ''fononi''?
| |||