Ero sivun ”Matematiikka/Trigonometria” versioiden välillä

Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Travel1515415 (keskustelu | muokkaukset)
pEi muokkausyhteenvetoa
Rusae (keskustelu | muokkaukset)
Esimerkkejä trigonometrisistä funktioista ja Pythagoraan lauseesta sekä trigonometrisiä funktioita havainnollistava kuva.
Rivi 3:
== Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause ==
 
Suorakulmainen kolmio on kolmio, jonkajossa yksion kulmasuora on90 suorakulma, eliasteen kulma jonka suuruus on 90 astetta.
 
[[Kuva:Triangle.Right.svg‎]]
 
Suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään matematiikassa tiettyjä nimityksiä. SuorakulmanSuoran kulman viereisistä sivuista käytetään nimeä kateetti, ja jäljelle jäävästä pitkästä sivusta käytetään nimeä hypotenuusa. Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu.
 
[[w:Pythagoraan lause|Pythagoraan lauseen]] mukaan <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, kun a ja b on kateetit ja c hypotenuusa, eli kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliön summa. Jos kateetit ovat 7 ja 11, voidaan hypotenuusa laskea Pythagoraan lauseella seuraavasti:
Matemaattinen lause nimeltään [[w:Pythagoraan lause|Pythagoraan lause]] sanoo että kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, eli jos kumpikin kateetti kerrotaan itsellään ja saadut tulot lasketaan yhteen, on summa yhtä suuri kuin jos hypotenuusa kerrottaisiin itsellään. Tästä seuraa että kateettien ja hypotenuusan välillä vallitsevat tietyt suhteet, ja jos esimerkiksi tiedetään suorakulmaisesta kolmiosta kahden sivun pituus, voidaan tämän tiedon avulla laskea jäljelle jäävän sivun pituus.
 
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
 
<math>7^2 + 11^2 = c^2</math>
 
<math>49 + 121 = c^2</math>
 
<math>170 = c^2</math>
 
<math>c = \sqrt{170}</math>
 
<math>c \approx 13</math>
 
Jos hypotenuusa on 16 ja kateetti a on 7, voidaan kateetti b laskea seuraavasti:
 
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
 
<math>7^2 + b^2 = 13^2</math>
 
<math>b^2 = 13^2 - 7^2</math>
 
<math>b^2 = 169 - 49</math>
 
<math>b^2 = 120</math>
 
<math>b = \sqrt{120}</math>
 
<math>b \approx 11</math>
== Kulmien suuruus ja sivujen suhteet ==
 
Rivi 18 ⟶ 45:
 
== Sini, kosini ja tangentti ==
[[File:Sincostan pythagoras triangle.png|thumb|right|200px]]
Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti. Kun suorakulmaisessa kolmiossa käsiteltävän kulman vastainen kateetti on a, viereinen b ja hypotenuusa on c,
 
<math>sin \alpha = \frac{a}{c}</math>
 
<math>cos \alpha = \frac{b}{c}</math>
 
<math>tan \alpha = \frac{a}{b}</math>.
 
Sini on siis tiedetystä kulmasta katsottuna vastaisen kateetin ja hypotenuustan suhde, kosini viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde ja tangentti kateettien välinen suhde.
 
=== Laskutoimituksia trigonometrisillä funktioilla ===
Kuvan kolmion sivun a pituus on 6 cm ja kulma <math>\alpha</math> on 35 astetta. Lasketaan hypotenuusa. Koska olemme maininneet kulmaan <math>\alpha</math> verrattuna vastaisen kateetin ja hypotenuusan, kulma voidaan laskea sinillä. Sijoitetaan sinin kaavaan kyseessä olevat luvut ja ratkaistaan hypotenuusa.
 
<math>sin 35 = \frac{6}{c}</math>
 
<math>sin 35 \cdot c = 6</math>
 
<math>c = \frac{6}{sin 35}</math>
 
<math>c \approx 10,5</math>
 
Hypotenuusan pituus on noin 10,5 cm.
 
=== Kulman laskeminen ===
 
Kun tiedetään vähintään kaksi sivua, kaikki kolmion kulmat voidaan laskea. Suora kulma on 90 astetta ja kolmion kulmien summa on 180 astetta. Kun tiedetään kaksi sivua, voidaan käyttää trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Käyttäen yhä ylläolevaa kolmiota,
 
<math>sin^{-1} \frac{a}{c} = \alpha</math>
 
<math>cos^{-1} \frac{b}{c} = \alpha</math>
 
<math>tan^{-1} \frac{a}{b} = \alpha</math>
 
Jos tiedämme, että kulmasta <math>\alpha</math> katsottuna vastainen kateetti on 5 ja viereinen 7, voimme laskea kulman <math>\alpha</math> suuruuden. Koska tiedämme molempien kateettien pituudet, käytämme tangenttia. Sijoitetaan tiedetyt arvot laskukaavaan.
 
<math>tan^{-1} \frac{a}{b} = \alpha</math>
 
<math>tan^{-1} \frac{5}{7} = \alpha</math>
 
<math>tan^{-1} 0,7143 = \alpha</math>
Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti.
 
<math>36 \approx \alpha</math>
Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tätä kulmaa vastapäätä olevan kateetin ja hypotenuusan suhde nimeltään sini. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman vastapäinen kateetti hypotenuusalla on tämän kulman sini. Yksi erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 30°, sillä silloin vastapäinen kateetti jaettuna hypotenuusalla on 0,5, eli 30° kulman sini on 0,5. Tämä on erikoistapaus siksi että sekä kulman suuruus 30° että sinin arvo 0,5 ovat tasalukuja, kun yleensä ne eivät ole tasalukuja.
 
<math>\alpha \approx 36</math>
Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tämän kulman viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde nimeltään kosini. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman viereinen kateetti hypotenuusalla on tämän kulman kosini. Kosinin erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 60°, ja myös tällöin kosinin arvo on 0,5.
 
Kulma <math>\alpha</math> on noin 36 astetta.
Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tätä kulmaa vastapäätä olevan kateetin ja kulman viereisen kateetin suhde nimeltään tangentti. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman vastainen kateetti kulman viereisellä kateetilla on tämän kulman tangentti. Tangentin erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 45°, koska tällöin kateetit ovat yhtä pitkät, eli tangentti on 1.
 
[[Luokka:Matematiikka|Trigonometria]]