Ero sivun ”Matematiikka/Trigonometria” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
Esimerkkejä trigonometrisistä funktioista ja Pythagoraan lauseesta sekä trigonometrisiä funktioita havainnollistava kuva. |
||
Rivi 3:
== Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause ==
Suorakulmainen kolmio on kolmio,
[[Kuva:Triangle.Right.svg]]
Suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään matematiikassa tiettyjä nimityksiä.
[[w:Pythagoraan lause|Pythagoraan lauseen]] mukaan <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, kun a ja b on kateetit ja c hypotenuusa, eli kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliön summa. Jos kateetit ovat 7 ja 11, voidaan hypotenuusa laskea Pythagoraan lauseella seuraavasti:
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
<math>7^2 + 11^2 = c^2</math>
<math>49 + 121 = c^2</math>
<math>170 = c^2</math>
<math>c = \sqrt{170}</math>
<math>c \approx 13</math>
Jos hypotenuusa on 16 ja kateetti a on 7, voidaan kateetti b laskea seuraavasti:
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
<math>7^2 + b^2 = 13^2</math>
<math>b^2 = 13^2 - 7^2</math>
<math>b^2 = 169 - 49</math>
<math>b^2 = 120</math>
<math>b = \sqrt{120}</math>
<math>b \approx 11</math>
== Kulmien suuruus ja sivujen suhteet ==
Rivi 18 ⟶ 45:
== Sini, kosini ja tangentti ==
[[File:Sincostan pythagoras triangle.png|thumb|right|200px]]
Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti. Kun suorakulmaisessa kolmiossa käsiteltävän kulman vastainen kateetti on a, viereinen b ja hypotenuusa on c,▼
<math>sin \alpha = \frac{a}{c}</math>
<math>cos \alpha = \frac{b}{c}</math>
<math>tan \alpha = \frac{a}{b}</math>.
Sini on siis tiedetystä kulmasta katsottuna vastaisen kateetin ja hypotenuustan suhde, kosini viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde ja tangentti kateettien välinen suhde.
=== Laskutoimituksia trigonometrisillä funktioilla ===
Kuvan kolmion sivun a pituus on 6 cm ja kulma <math>\alpha</math> on 35 astetta. Lasketaan hypotenuusa. Koska olemme maininneet kulmaan <math>\alpha</math> verrattuna vastaisen kateetin ja hypotenuusan, kulma voidaan laskea sinillä. Sijoitetaan sinin kaavaan kyseessä olevat luvut ja ratkaistaan hypotenuusa.
<math>sin 35 = \frac{6}{c}</math>
<math>sin 35 \cdot c = 6</math>
<math>c = \frac{6}{sin 35}</math>
<math>c \approx 10,5</math>
Hypotenuusan pituus on noin 10,5 cm.
=== Kulman laskeminen ===
Kun tiedetään vähintään kaksi sivua, kaikki kolmion kulmat voidaan laskea. Suora kulma on 90 astetta ja kolmion kulmien summa on 180 astetta. Kun tiedetään kaksi sivua, voidaan käyttää trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Käyttäen yhä ylläolevaa kolmiota,
<math>sin^{-1} \frac{a}{c} = \alpha</math>
<math>cos^{-1} \frac{b}{c} = \alpha</math>
<math>tan^{-1} \frac{a}{b} = \alpha</math>
Jos tiedämme, että kulmasta <math>\alpha</math> katsottuna vastainen kateetti on 5 ja viereinen 7, voimme laskea kulman <math>\alpha</math> suuruuden. Koska tiedämme molempien kateettien pituudet, käytämme tangenttia. Sijoitetaan tiedetyt arvot laskukaavaan.
<math>tan^{-1} \frac{a}{b} = \alpha</math>
<math>tan^{-1} \frac{5}{7} = \alpha</math>
<math>tan^{-1} 0,7143 = \alpha</math>
▲Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti.
<math>36 \approx \alpha</math>
<math>\alpha \approx 36</math>
Kulma <math>\alpha</math> on noin 36 astetta.
[[Luokka:Matematiikka|Trigonometria]]
|