Ero sivun ”Matematiikka/Matemaattisia ongelmia” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 337:
Aivan vastaavasti saadaan <math>|a-b|=1</math>, ja <math>0=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab</math>. Tämä tarkoittaa, että joko x tai y on nolla - ristiriita, ja yhtälöillä ei voi olla yhteistä kokonaislukuratkaisua.
===21. (JS)===
(Kysyin apua Dr Voglerilta, The Math Forumista) Elliptisen yhtälön aste on 0 ja torsioryhmä Z/3Z, joten yhtälöllä on täsmälleen kolme pistettä, joissa kumpikin koordinaatti on rationaalinen. Helposti huomataan, että ne ovat (0,-1), (0,1) ja (0,1,0), joka on äärettömyydessä. Siten positiivisia rationaaliratkaisuja ei ole.
===23. (JS)===
Olkoon <math>O</math> pallon keskipiste, pallon säde 1 ja <math>|OG|=r</math>. Tällöin <math>|GA_i|\cdot |GB_i|=1-r^2</math>, joten riittää osoittaa, että <math>(1-r^2)^n\ge \prod_i |GA_i|^2</math>. Mutta <math>n=\sum_i |OA_i|^2=n|OG|^2+\sum_i |GA_i|^2</math>, joten <math>\frac 1n\sum_i |GA_i|^2=1-r^2</math>. Väite seuraa AM-GM -epäyhtälöstä.
Toinen epäyhtälö todistetaan samoin. Kirjoitetaan <math>\sum_i \frac 1{|GB_i|}=\sum_i \frac {|GA_i|}{1-r^2}</math>, jolloin riittää todistaa, että <math>n\sum_i |GA_i|\le \left(\sum_i \frac 1{|GA_i|}\right)\left(\sum_i |GA_i|^2\right)</math>. Avataan sulut ja huomataan, että <math>\frac {x^2}y+\frac{y^2}x-x-y=(x-y)(\tfrac xy-\tfrac yx)\ge 0</math> kaikilla <math>x,y>0</math>.
===24. (TT)===
| |||