Ero sivun ”Matematiikka/Matemaattisia ongelmia” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 341:
===23. (JS)===
Olkoon <math>O</math> pallon keskipiste, pallon säde 1 ja <math>|OG|=r</math>. Tällöin <math>|GA_i|\cdot |GB_i|=1-r^2,</math> joten riittää osoittaa, että <math>(1-r^2)^n\ge \prod_i |GA_i|^2</math>. Mutta <math>n=\sum_i |OA_i|^2=n|OG|^2+\sum_i |GA_i|^2,</math>
Toinen epäyhtälö todistetaan samoin. Kirjoitetaan <math>\sum_i \frac 1{|GB_i|}=\sum_i \frac {|GA_i|}{1-r^2}</math>, jolloin riittää todistaa, että <math>n\sum_i |GA_i|\le \left(\sum_i \frac 1{|GA_i|}\right)\left(\sum_i |GA_i|^2\right)</math>. Avataan sulut ja huomataan, että <math>\frac {x^2}y+\frac{y^2}x-x-y=(x-y)(\tfrac xy-\tfrac yx)\ge 0</math> kaikilla <math>x,y>0</math>.
| |||