Ero sivun ”Matematiikka/Matemaattisia ongelmia” versioiden välillä

Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Todistus oli puutaheinää.
Rivi 255:
Tehtävä onnistuu itse asiassa 5 kysymyksellä. Ensimmäiset 4 kysymystä tapahtuvat luvuilla M = 60 = 2*2*3*5, ja N = 1,2,3, ja 4. Näillä 4 kysymyksellä saa selvitettyä arvot x modulo 4, x modulo 3 ja x modulo 5, sillä x = k (modulo c) <-> x +(-k) = 0 (modulo c) -> c jakaa syt(x+(-k), c). 4,3,5 ovat pareittain keskenään jaottomia, joten itse asiassa 3 em. modulon perusteella voidaan laskea yksikäsitteisesti x modulo 60 (kiinalainen jakojäännöslause). Jos x modulo 60 > 40, niin on oltava x = (x modulo 60). Jos taas x modulo 60 <=40, niin x:llä on vain 2 vaihtoehtoa ((x modulo 60) tai (x modulo 60) + 60), joista x:n saa selvitettyä 1 kysymyksellä esim. tarkistamalla vastaako x modulo 7 ensimmäisen vaihtoehdon vastaavaa em. kuvatulla tavalla. Yhteensä siis enintään 4+1 = 5 kysymystä.
 
===16. (TT)===
Tod 2: (JS) <br/> Huomataan, että <math>\int_a^b \sin 2 \pi x\, dx=0</math> jos ja vain jos ainakin toinen luvuista a-b ja a+b on kokonaisluku. Nyt kaikilla suorakulmioilla T joiden vasen alakulma on (0,0) ja joiden sivut koordinaattiakseleiden suuntaiset, on <math>\int\int_T \sin 2\pi x \sin 2 \pi y\,dx\,dy=0</math> joss vähintään yksi T:n sivuista on kokonaislukupituinen. Ensimmäisen integraalin perusteella integraali häviää kaikilla pienillä suorakulmioilla, joten Fubinin lauseen perusteella se häviää myös isommassa suorakulmiossa.
 
Tod 1: Väritetään mustiksi suorakaiteet, joiden korkeus on kokonaisluku. Tämän jälkeen väritetään valkoisiksi jäljelle jäävistä suorakaiteista ne, joiden kanta on kokonaisluku. Tehtävän oletusten perusteella jokainen suorakaide tulee väritetyksi.
Tutkitaan suorakaiteiden kulmapisteitä. Huomataan, että jokaisessa pisteessä yhtyy kaksi tai neljä suorakaiteen nurkkaa. Näin ollen nurkat voidaan jakaa pareihin, ja kiinnittää tämä jako. Ainoa poikkeus on ison suorakaiteen kulmapisteet, joissa on vain yksi suorakaiteen nurkka. Aletaan nyt konstruoida polkua, joka alkaa vasemmasta ylänurkasta ja jatkaa matkaansa mustien suorakaiteiden pystysivuja ja valkoisten suorakaiteiden vaakasivuja. Tälläinen polku etenee kumpaankin suuntaan kokonaislukuaskelin. Jokaisessa kulmapisteessä jatketaan polkua sitä suorakaidetta pitkin, jonka sopimamme jako antaa pariksi tulosuorakaiteelle. Jos polku tulee ison suorakaiteen nurkkaan eli poikkeuspisteeseen, niin se pysähtyy. Koska polku on yksikäsitteinen, ei se voi tehdä lenkkiä muuten kuin palaamalla alkuun. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska alkuun ei ole kuin yksi reitti. Toisaalta polku ei voi pyöriä loputtomasti kuvion sisällä, koska suorakaiteita on äärellinen määrä. Näin ollen polku päätyy lopulta johonkin nurkkaan ja pysähtyy. Tästä seuraa, että kahdella nurkalla on kokonaislukuetäisyys sekä vaaka- että pystysuunnassa. Tämä todistaa, että ainakin yksi ison suorakaiteen sivuista on kokonaisluvun mittainen.
 
Tod 2: (JS) <br/> Huomataan, että <math>\int_a^b \sin 2 \pi x\, dx=0</math> jos ja vain jos ainakin toinen luvuista a-b ja a+b on kokonaisluku. Nyt kaikilla suorakulmioilla T joiden vasen alakulma on (0,0) ja joiden sivut koordinaattiakseleiden suuntaiset, on <math>\int\int_T \sin 2\pi x \sin 2 \pi y\,dx\,dy=0</math> joss vähintään yksi T:n sivuista on kokonaislukupituinen. Ensimmäisen integraalin perusteella integraali häviää kaikilla pienillä suorakulmioilla, joten Fubinin lauseen perusteella se häviää myös isommassa suorakulmiossa.
 
===17===