Ero sivun ”Analyysin perusteet” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p luokka |
|||
Rivi 11:
== Funktiot ==
=== Funktion jatkuvuus ===
Intuitiivisesti määriteltynä funktion jatkuvuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja ei katkea eli sen voi piirtää koordinaatistoon nostamatta kynää paperista. Tämä on lähtöidea, mutta tarvitaan myös eksakti matemaattinen määritelmä, josta tässä esitellään vain yhden reaalimuuttujan tapaus.
Funktio <math>f: A \rightarrow R </math> on jatkuva pisteessä <math> a \in A </math>, jos ja vain jos sillä on raja-arvo L tässä pisteessä ja <math> L=f(a) </math>. Raja-arvon olemassaolo taasen vaatii, että on olemassa yhtäsuuret toispuoleiset raja-arvot. '''Toisin sanoen, funktio f on jatkuva pisteessä a, joss'''
<math> \lim_{x \to \ a-}f(x) = \lim_{x \to \ a+}f(x) = \lim{x \to \ a} f(a) </math>
Funktion jatkuvuus on välttämätön muttei riittävä ehto derivoituvuudelle. Kaikki derivoituvat funktiot ovat siis jatkuvia, mutta kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Jälkimmäisestä esimerkkinä itseisarvofunktio <math>f: R \rightarrow R, f(x)= |x| </math>
=== Funktiot ja raja-arvot ===
| |||