Analyysin perusteet

Analyysiä voidaan pitää yhteisnimikkeenä kaikelle matematiikalle, jossa käsitellään rajaprosesseja. Rajaprosessien ymmärtäminen ja hallitseminen on ensiarvoisen tärkeää mm. sovellettaessa matematiikkaa luonnontieteissä. Näin pyritään ymmärtämään, miksi ja milloin mittaamalla voidaan saada suhteellisen luotettavaa tietoa ilmiöstä.

Esimerkkejä rajaprosesseista, joita analyysin avulla käsitellään.

1. Raja-arvo: Raja-arvo on matemaattinen käsite, jolla kuvataan funktioiden kulun tendenssiä, kun muuttuja lähestyy tiettyä arvoa. Raja-arvo ja funktioiden jatkuvuus ovat läheisessä yhteydessä toisiinsa.

2. Derivaatta: Derivaatta määritellään raja-arvona ja sen avulla saadaan funktioiden muutosnopeuksia ja käyrien tangentteja. Derivaattoja käsittelevää aineistoa kutsutaan differentiaali-laskennaksi

3. Integraali: Integraali saadaan määriteltyä erillisellä rajankäynnillä. Pinta-alat, tilavuudet ja käyrien pituudet ovat integraalilaskennan sovelluksia; sovelluksia on paljon fysiikassa. Osoittautuu että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatioita

Funktiot

Jatkuvuudesta

Intuitiivisesti määriteltynä funktion jatkuvuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja ei katkea eli sen voi piirtää koordinaatistoon nostamatta kynää paperista. Tämä on lähtöidea, mutta tarvitaan myös eksakti matemaattinen määritelmä, josta tässä esitellään vain yhden reaalimuuttujan tapaus.

Funktio $f:A\rightarrow R$ on jatkuva pisteessä $a\in A$, jos ja vain jos sillä on raja-arvo L tässä pisteessä ja $L=f(a)$. Raja-arvon olemassaolo taasen vaatii, että on olemassa yhtäsuuret toispuoleiset raja-arvot. Toisin sanoen, funktio f on jatkuva pisteessä a, joss $\lim _{x\to \ a-}f(x)=\lim _{x\to \ a+}f(x)=\lim _{x\to \ a}f(x)=f(a)$. Vaihtoehtoisesti $f$ on jatkuva pisteessä $a$, jos kaikille $\epsilon >0$ on olemassa $\delta >0$ siten, että $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ kaikilla $0<|x-a|<\delta$.

Funktion jatkuvuus on välttämätön muttei riittävä ehto derivoituvuudelle. Kaikki derivoituvat funktiot ovat siis jatkuvia, mutta kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Jälkimmäisestä esimerkkinä itseisarvofunktio $f:R\rightarrow R,f(x)=|x|$

Derivaatasta

Derivaatta kuvaa funktion kulkua. Geometrisesti määriteltynä derivaatan arvo onkin funktion kuvaajalle tiettyyn pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Täten seuraa loogisesti, että derivaatan ollessa epänegatiivinen (positiivinen tai nolla) on alkuperäinen funktio kasvava, ja vastaavasti funktio on vähenevä, kun sen derivaatta saa epäpositiivisia arvoja. Funktio, joka on joko kasvava tai vähenevä, on monotoninen. Derivaatan nollakohdat ovat tärkeitä funktion kulun tutkimisessa, sillä noissa pisteissä funktio saavuttaa mahdollisesti joko globaalin tai lokaalin ääriarvon.

Yhden muuttujan tapauksessa funktion $f\!$ ensimmäisen kertaluvun derivaattafunktiota merkitään yläpilkulla $f'\!$, toisen kertaluvun $f''\!$ ja kolmannen $f'''\!$. Tästä eteenpäin käytetään funktion f kertaluvun n derivaatalle $f^{(n)}\!$

Monotonisuuden lisäksi on olemassa sitä tiukempi kulun muoto: aito monotonisuus. Funktio on aidosti kasvava (vähenevä), jos sen derivaatta on epänegatiivinen (-positiivinen) ja nolla vain erillisissä pisteissä. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että funktion f arvot suurenevat (vähenevät) argumentin eli muuttujan saamien arvojen suuretessa (vähetessä).

Eräs käytetyimmistä lauseista on seuraava: Derivoituva funktio on aidosti monotoninen, jos ja vain jos sen derivaatta on epänegatiivinen eikä nolla millään välillä. Toisin sanoen funktion kuvaajalla voi olla ns. terassikohtia, mutta se ei kuitenkaan saavuta ääriarvojaan derivaatan nollakohdissa.

Derivaatta itsessään määritellään erotusosamäärän raja-arvona

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Kuten tavallisen raja-arvon olemassaolo, tämäkin vaatii toispuoleisten raja-arvojen olemassaoloa ja yhtäsuuruutta. Yhdellä lausekkeella määritellyille funktioille tämä harvoin tuottaa ongelmia, mutta paloittain määritellyillä funktioilla asian laita on eri. Esimerkiksi funktio $f:R\rightarrow R,f(x)=|x|$ ei ole derivoituva origossa.

Funktion f kuvaajalle pisteiden (a,f(a)) ja (a+h,f(a+h)) kautta piirretty sekantti muuttuu rajankäynnissä tangentiksi.

Derivointisääntöjä

Tässä on lista yleisimmistä derivoimissäännöistä. Ne ovat kaikki johdetavissa erotusosamäärän raja-arvona. (kirjain $D\!$ kuvaa derivaattaa)

• $Dk=0,\quad k\!$ on vakio
• $Dkf=kDf\!$
• $D(f+g)=Df+Dg\!$
• $Dfg=f'g+fg'\!$
• $D{\frac {f}{g}}={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\!$
• $Dg(f(x))=g'(f(x))f'(x)\!$
• $(f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}\!$, missä $y_{0}=f(x_{0})\!$

Viimeisestä kaavasta huomautettakoon, ettei funktion käänteisfunktiolla ole derivaattaa alkuperäisen funktion derivaatan nollakohdissa.