Lotto

Lotto on artikkeli, jossa tutkitaan mahdollisuutta optimoida lottorivistö siten, että todennäköisyys saada rivistöllä neljästä seitsemään oikein on maksimaalinen. Tässä käsitellään nykyistä suomalaista lottoa, jossa arvotaan seitsemän lukua 39:stä. Yksinkertaisuuden vuoksi kahta lisänumeroarvontaa ei oteta huomioon tarkasteltaessa yhtä useampaa peliriviä.

Haluttaessa esimerkkirivistöt voidaan sekoittaa esimerkiksi siten, että yksilöidään 39 lappua luvuilla 1–39. Lappujoukosta poistetaan satunnaisesti lappu ja esimerkkirivistössä oleva luku 1 korvataan lapussa olevalla luvulla. Poistoja jatketaan kunnes viimeiseksi jäävän lapun luvulla korvataan esimerkkirivistön luku 39.

Ennen marraskuuta 2016

Arvottaessa luvuista 1–40 seitsemän on erilaisia kombinaatioita kaikkiaan C(40,7) = . Saada lotossa seitsemän oikein pelaamalla yhdellä rivillä on siten suurin piirtein sama kuin saada kolikonheitossa kruuna 24 kertaa peräkkäin ($\scriptstyle 2^{24}=16\ 777\ 216$) tai nopanheitossa kuutonen yhdeksän kertaa peräkkäin ($\scriptstyle 6^{9}=10\ 077\ 696$).

Esimerkiksi tapaukselle neljä oikein seitsemästä on suotuisia rivejä N(7) = C(7,4)·C(40-7,7-4) = C(7,4)·C(33,3) = . Todennäköisyys saada neljä oikein on siis P(4) = 173 600 / 15 380 937 eli noin 0,0113. Vastaavasti voidaan laskea suotuisat rivimäärät muille tapauksille:

N(0) = C(7,0)·C(33,7) =

N(1) = C(7,1)·C(33,6) =

N(2) = C(7,2)·C(33,5) =

N(3) = C(7,3)·C(33,4) =

N(4) = C(7,4)·C(33,3) =

N(5) = C(7,5)·C(33,2) =

N(6) = C(7,6)·C(33,1) =

N(7) = C(7,7)·C(33,0) = 1·1 =1

Marraskuun 2016 jälkeen

Arvottaessa luvuista 1–39 seitsemän on erilaisia kombinaatioita kaikkiaan C(39,7) = 15 380 937. Saada lotossa seitsemän oikein pelaamalla yhdellä rivillä on siten suurin piirtein sama kuin saada kolikonheitossa kruuna 24 kertaa peräkkäin ($\scriptstyle 2^{24}=16\ 777\ 216$) tai nopanheitossa kuutonen yhdeksän kertaa peräkkäin ($\scriptstyle 6^{9}=10\ 077\ 696$).

Esimerkiksi tapaukselle neljä oikein seitsemästä on suotuisia rivejä N(7) = C(7,4)·C(39-7,7-4) = C(7,4)·C(32,3) = 35·4960 = 173 600. Todennäköisyys saada neljä oikein on siis P(4) = 173 600 / 15 380 937 eli noin 0,0113. Vastaavasti voidaan laskea suotuisat rivimäärät muille tapauksille:

N(0) = C(7,0)·C(32,7) = 1·3 365 856 = 3 365 856

N(1) = C(7,1)·C(32,6) = 7·906 192 = 6 343 344

N(2) = C(7,2)·C(32,5) = 21·201 376 = 4 228 896

N(3) = C(7,3)·C(32,4) = 35·35 960 = 1 258 600

N(4) = C(7,4)·C(32,3) = 35·4960 = 173 600

N(5) = C(7,5)·C(32,2) = 21·496 = 10 416

N(6) = C(7,6)·C(32,1) = 7·32 = 224

N(7) = C(7,7)·C(32,0) = 1·1 = 1

Mikäli lisänumeroarvonnat otetaan huomioon, voidaan eri tapauksia vastaavat rivimäärät laskea kaavasta:

N(a,b) = C(7,a)·C(2,b)·C(30,7-a-b)

jossa a on varsinaisten osumien lukumäärä ja b lisänumero-osumien lukumäärä. Tulokset on laskettu alla olevaan taulukkoon:

a b rivimäärä % 0 0 2 035 800 13,236 0 1 1 187 550 7,721 0 2 142 506 0,927 1 0 4 156 425 27,023 1 1 1 995 084 12,971 1 2 191 835 1,247

a b rivimäärä % 2 0 2 992 626 19,457 2 1 1 151 010 7,483 2 2 85 260 0,554 3 0 959 175 6,236 3 1 284 200 1,848 3 2 15 225 0,099

a b rivimäärä % 4 0 142 100 0,924 4 1 30 450 0,198 4 2 1 050 0,007 5 0 9 135 0,059 5 1 1 260 0,008 5 2 21 0,000

a b rivimäärä % 6 0 210 0,001 6 1 14 0,000 7 0 1 0,000 ∑ 15 380 937

Voitolle suotuisia rivejä (vähintään kolme ja lisänumero oikein) on siis yhteensä 483 666. Vastaava todennäköisyys on 483 666 / 15 380 937 eli noin 0,031.

Pelattaessa yhdellä rivillä varsinaisten osumien odotusarvo on yksinkertaisesti (7/39)·7 = 49/39 = 1,2564.

Pelattaessa yhdellä rivillä vuoden eli 52 viikon ajan, on todennäköisyys saada tänä aikana vähintään yksi voitto

$1-({\frac {15380937-483666}{15380937}})^{52}\approx 0,81$

jossa potenssiin korotettu termi on todennäköisyys hävitä 52 kertaa peräkkäin.

Kaksi riviä

Tarkastellaan aluksi todennäköisyyttä saada neljä oikein riviparissa

1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14

Olkoon tapahtuma A: ensimmäisessä rivissä on neljä oikein ja tapahtuma B: toisessa rivissä on neljä oikein. Todennäköisyyslaskennasta tutun yhteenlaskusäännön mukaan

P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)

Tässä tapahtumat A ja B ovat erilliset, sillä molemmilla riveillä ei voi olla neljää oikein yhtä aikaa. Niinpä P(A ja B) = 0 ja todennäköisyys saada neljä oikein on kaksi kertaa niin suuri kuin yhden rivin tapauksessa.

Sen sijaan esimerkiksi riviparissa, jossa molemmissa riveissä on yksi yhteinen luku (tässä 1)

1	2	3	4	5	6	7
1	8	9	10	11	12	13

voi olla mahdollista saada molempiin riveihin neljä oikein eli kun luku 1 tulee valituksi ja luvuista 2–7 tulee valituksi kolme samoin kuin luvuista 8–13. Tällaisia tapauksia on

C(1,1)·C(6,3)·C(6,3) = 1·20·20 = 400

Voitolle suotuisia rivejä on siis 2·173 600 - 400 = 346 800.

Mikäli riveissä on kaksi yhteistä lukua, niin vähennys on 400:n asemesta jo 2900.

Esimerkistä voidaan tehdä se johtopäätös, että rivisysteemissä rivien välinen keskimääräinen päällekkäisyysaste pitäisi minimoida. Tämähän on myös intuition mukainen tulos, sillä harva esimerkiksi pelaa kahdella samanlaisella rivillä.

Vähintään yksi oikein

Mikäli pelikäytössä ovat luvut 1–33, niin näiden ulkopuolelle jää kuusi lukua 34–39. Pelaajan kannalta huonoimmassa tapauksessa nämä tulevat kaikki valituiksi lottoarvonnassa, joten oman rivistön osalle jää yksi osuma. Tarvittava rivimäärä on siis pienimmillään viisi, esimerkiksi

1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	32	33	34	35

Todennäköisyys saada tällä rivistöllä vähintään yhdellä rivillä neljä oikein on (5·184 241 =) 921 205 / 15 380 937 eli noin 0,0599. Voittoisien rivien määrä on tässä ja seuraavissa esimerkeissä saatu selville lopussa esitetyllä tietokoneohjelmalla.

Yllä oleva rivistö paljastaa myös sen yleisen periaatteen, että optimaalisessa rivistössä kutakin lukua, lukuparia, lukukolmikkoa jne. on käytettävä samassa suhteessa muihin vastaaviin verrattuna. Eli rivistön kokoa kasvatettaessa ensin esiintyvät kaikki luvut 1–39, seuraavaksi suuremmassa myös kaikki lukuparit jne. Tämä vastaa periaatetta, että populaatiosta otetaan mahdollisemman edustava näyte siten, että näyte on "populaatio pienoiskoossa".

Esimerkiksi jos yllä olevassa rivistössä luku 35 korvataan luvulla 1, jota on jo käytetty kertaalleen, niin voiton kannalta suotuisia rivejä on 400 vähemmän eli 920 805.

Vähintään kaksi oikein

Pienin rivimäärä, jolla saadaan aina vähintään kaksi oikein, on kuusi:

1	7	13	19	25	31	37
2	8	14	20	26	32	38
3	9	15	21	27	33	39
4	10	16	22	28	34	1
5	11	17	23	29	35	2
6	12	18	24	30	36	3

Rivistössä kutakin luvuista 1–39 on käytetty vähintään kerran. Eli kun huonoimmassa tapauksessa kuusi ensimmäistä arvottua lukua osuvat kukin omalle rivilleen, niin viimeinen arvottu luku osuu pakostakin riville, jossa on jo osuma.

Todennäköisyys saada tällaisella rivistöllä vähintään neljä oikein on 1 104 246 / 15 380 937 eli noin 0,0718. Tässä vaiheessa rivien välille tulee jo välttämättä päällekkäisyyttä eli kolmella riviparilla on yhteinen numero 1, 2 tai 3. Voiton kannalta suotuisia rivejä on näin ollen 6·184 241 - 3·400 = 1 104 246.

12 riviä

Kun 12-rivinen systeemi optimoidaan siten, että riveillä on mahdollisimman vähän yhteistä toistensa kanssa, saadaan esimerkiksi rivistö:

1	8	13	21	26	28	36
5	18	23	30	31	37	39
6	16	17	20	24	26	34
1	2	6	15	18	32	33
16	19	22	28	29	30	32
4	9	12	21	27	29	34
5	7	11	15	17	25	27
3	14	16	18	27	35	36
2	4	7	13	24	38	39
8	9	19	20	25	35	37
3	7	10	22	23	33	34
10	11	12	14	20	31	38

Tässä 51 riviparin välillä on yksi yhteinen luku. Todennäköisyys saada vähintään neljä oikein tällä rivistöllä on nyt (12·184 241 - 51·400 =) 2 190 492 / 15 380 937 eli noin 0,1424.

18 riviä

Käymällä kaikki lottorivit läpi ja hyväksymällä aina sellainen rivi, jolla on yksi yhteinen luku kunkin edellisen hyväksytyn rivin kanssa, saadaan 18 riviä. Tämä merkitsee sitä, että kasvattamalla pelirivien määrä 18 suuremmaksi riviparien välillä alkaa jo esiintyä päällekkäisyysastetta kaksi eli kaksi yhteistä lukua. Kuvattu 18-rivinen ei kuitenkaan ole voittoisuuden kannalta optimaalinen, sillä on mahdollista tehdä rivistö, jossa C(18,2) = 153 riviparista yhdeksän välillä ei ole päällekkäisyyttä ja 144 välillä on yksi yhteinen luku.

Vähintään kolme oikein

Mikäli halutaan saada aina vähintään kolme oikein, voidaan menetellä seuraavasti. Jaetaan luvut 1–39 kolmeen osajoukkoon 1–13, 14–26 ja 27–39. Tällöin huonoimmassakin tapauksessa johonkin osajoukkoon osuu vähintään kolme arvotuista seitsemästä luvusta. Seuraavaksi on laadittava lottorivit, jotka sisältävät kaikki lukukolmikot kustakin osajoukosta. Rivimäärän alaraja on C(13,3)/C(7,3) = 286/35 > 8. Kaikkia kolmikkoja ei kuitenkaan käytännössä saada pakattua alle 13-riviseen taulukkoon. Lukujoukolle 1–13 tämä taulukko on esimerkiksi:

1	2	4	5	7	8	13
1	2	3	5	6	8	9
2	3	4	6	7	9	10
3	4	5	7	8	10	11
4	5	6	8	9	11	12
5	6	7	9	10	12	13
1	6	7	8	10	11	13
1	2	7	8	9	11	12
2	3	8	9	10	12	13
1	3	4	9	10	11	13
1	2	4	5	10	11	12
2	3	5	6	11	12	13
1	3	4	6	7	12	13

Tämä rivistö sisältää kaikki lukukolmikot vaikka riveillä seitsemän ja kahdeksan olevat ykköset poistettaisiin. Lisäksi kaikki taulukon rivit voidaan johtaa ensimmäisestä siten, että uusi rivi saadaan aina lisäämällä edellisen arvoihin ykkönen ja merkitsemällä tulos ykköseksi, jos summa on 14. Lisäämällä rivistön lukuihin ensin 13 ja sitten 26 saadaan 39-rivinen systeemi, joka siis tuottaa aina vähintään kolme oikein. Todennäköisyys saada tällä rivistöllä neljästä seitsemään oikein on 4 638 621 / 15 380 937 eli noin 0,3016.

Tätä menetelmää ei kuitenkaan kannata käyttää suuren päällekkäisyysasteen vuoksi. Voittoisuuden suhteen saadaan parempi tulos pyrkimällä optimoimaan 39-rivinen systeemi aikaisemmin mainitulla tavalla ja siis levittämällä yksittäiset lottorivit koko käytettävissä olevalle lukualueelle. Eräs tulos on:

6	13	17	20	25	32	33
3	12	13	14	19	29	35
5	15	19	22	24	25	38
15	18	21	23	27	29	33
3	12	16	17	23	34	37
4	7	9	11	12	15	39
8	11	17	22	26	29	31
1	2	6	9	17	18	35
16	20	31	35	36	38	39
4	9	16	18	19	25	30
2	17	19	21	27	37	39
7	8	12	16	21	32	35
8	10	25	27	34	35	36
1	11	14	23	25	36	37
8	9	14	15	20	37	38
2	10	13	15	24	30	36
2	3	7	18	23	28	38
1	7	19	20	22	27	34
2	5	12	20	21	25	28
9	13	21	23	26	30	34
11	22	28	30	33	35	37
6	12	19	26	33	36	38
4	5	7	13	31	33	36
2	10	14	16	22	26	33
10	11	12	18	20	24	31
1	5	15	18	26	32	37
3	5	6	11	13	16	27
1	8	16	24	28	29	33
5	6	7	10	29	30	37
6	14	15	21	28	31	34
1	3	25	26	30	31	39
2	4	11	29	32	34	38
9	10	19	23	28	31	32
3	9	22	29	32	36	39
7	14	17	24	27	30	32
4	6	8	22	23	24	39
1	3	4	10	17	21	38
4	20	24	26	27	28	35
5	8	13	14	18	34	39

Todennäköisyys saada tällä rivistöllä neljästä seitsemään oikein on 6 553 151 / 15 380 937 eli noin 0,4261. Kuten odotettua, yllä olevassa taulukossa kutakin lukua on seitsemän kappaletta, koska lukuja on yhteensä 39·7. Rivien välinen päällekkäisyysaste voidaan myös päätellä. Muotoa 39·7 oleva taulukko muutetaan muotoon 7·39, missä rivejä aletaan täyttää systemaattisesti merkitsemällä esimerkiksi:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16 ... 39
1.	1.	1.	1.	1.	1.	1.	2.	2.	2.	2.	2.	2.	2.	3.	3. ... 6.

Tässä taulukossa käytetty merkintätapa tarkoittaa, että esimerkiksi ensimmäisellä pelirivillä 1. on luvut 1–7. Tämän ensimmäisen rivin alla on kuusi muuta riviä, joten keskimääräinen riviparin välinen päällekkäisyysaste on (6·7 + 32·0)/38 = 42/38 = 1,1053. Yllä olevassa joukossa 58 riviparin välillä ei ole yhteisiä lukuja, 547 rivinparin välillä on yksi yhteinen luku ja 136 riviparin välillä kaksi yhteistä lukua. Riviparejahan on
C(39,2) = 741.

Neljän luvun alueet

Kun kaikki 15 380 937 lottoriviä käydään läpi ja tilastoidaan kustakin kapein lukualue, jolla on neljä lukua, saadaan tulokseksi: lukualueen leveys rivimäärä 4 215 985 5 539 121 6 888 096 7 1 205 280 8 1 453 125 9 1 610 805 10 1 671 096 11 1 637 496 12 1 521 585 13 1 340 625 14 1 115 400 15 868 296 16 621 621 17 396 165 18 210 000 19 77 520 20 8 721

Esimerkiksi lukualueesta 1–10 saadaan kaikki lukunelikot sisällytettyä rivistöön, jossa on vähintään 12 riviä: 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 8 9 10 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 8 9 2 3 4 5 7 8 10 1 2 3 6 7 9 10 1 4 5 6 7 9 10 1 2 3 5 6 8 10 1 2 3 4 7 8 9 1 2 3 5 7 9 10 2 3 4 6 7 8 10 1 2 3 4 5 6 8 Jos tarkasteltavan lukualueen leveys on 11, 12 tai 13, tarvittavat rivimäärät ovat vastaavasti 18, 27 ja 37. Todennäköisyys, että kymmenen peräkkäisen luvun alueelle tulee vähintään neljä osumaa, on 875 862 / 15 380 937 eli noin 0,057. Tällaisella tiiviillä rivistöllä on se etu, että jos sen kattamalle alueelle osuu esimerkiksi viisi arvottua lukua, niin huonoimmassa tapauksessa viidellä rivillä on neljä oikein.

Vähintään neljä oikein

Voidaan myös kysyä kuinka monella satunnaisesti valitulla erilaisella rivillä pitäisi pelata, että olisi suurempi todennäköisyys saada neljästä seitsemään oikein kuin nollasta kolmeen oikein. Vastaus saadaan ratkaisemalla yhtälö

$1-{A \over B}{A-1 \over B-1}{A-2 \over B-2}...{A-(n-1) \over B-(n-1)}>0,5$

jossa n on rivimäärä. Kaavan vasen puoli voidaan lukea komplementtitapauksena: todennäköisyys voittaa on yhtä kuin yksi miinus todennäköisyys, että mikään rivi ei voita, toisin sanoen että ensimmäinen rivi ei tuota voittoa ja toinen rivi ei tuota voittoa ja niin edelleen n.:teen riviin. Kaavassa

${A \over B}={15196696 \over 15380937}\approx 0,9880$

on todennäköisyys saada yhdellä rivillä pelattaessa 0, 1, 2 tai 3 oikein. Lisäämällä yhtälössä vähitellen rivimäärää n voidaan todeta, että yhtälö toteutuu ensimmäisen kerran, kun rivimäärä on 58. Rivien lisäys ensimmäisen jälkeen ei juuri vaikuta seuraavien todennäköisyyksiin, joten sama vastaus olisi saatu ratkaisemalla yhtälö

$1-({A \over B})^{n}>0,5$

Sen sijaan, että rivit valittaisiin satunnaisesti, ne voidaan valita systemaattisesti, jolloin haluttuun tulokseen päästään pienemmällä rivimäärällä. Esimerkiksi yhden rivin tapauksestahan voidaan päätellä, että vähintään neljä oikein -tulokseen rivejä tarvitaan vähintään (15 380 937 / 184 241) / 2 eli 42, mutta käytännössä enemmän. Alla esitetty 48-rivinen systeemi on saatu aikaan laskemalla lukunelikoita. Aluksi lähtökohtana ovat kaikki 15 380 937 lottoriviä. Luvuista 1–39 voidaan muodostaa C(39,4) = 82 251 lukunelikkoa ja yksi lottorivi sisältää C(7,4) = 35 nelikkoa, joten kukin nelikko esiintyy lottorivistössä 6545 kertaa. Valitaan aluksi pelikäyttöön ensimmäinen lottorivi 1 2 3 4 5 6 7 ja lottorivistöstä poistetaan ne, joissa on 4–7 samaa lukua kuin valitussa. Tällaisia rivejä on aluksi 184 241. Poiston jälkeen lasketaan jäljelle jääneistä riveistä lukunelikot ja valitaan seuraavaksi sellainen rivi jossa esiintyvien lukunelikoiden kokonaismääräsumma kaikissa riveissä on suurin. Tämän jälkeen poistetaan taas rivistöstä sellaiset rivit, joissa on 4–7 samaa lukua kuin valitussa jne.

1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	32	33	34	35
1	8	15	36	37	38	39
2	3	9	16	22	29	36
4	5	10	17	23	30	37
6	7	11	18	24	31	38
2	12	13	19	25	32	39
3	14	20	21	26	33	37
4	9	18	27	28	34	39
5	6	12	20	27	35	36
1	7	10	14	16	25	35
5	13	21	22	28	34	38
1	11	19	23	26	29	34
6	8	16	17	28	32	33
3	13	15	24	27	30	31
4	8	19	22	26	31	35
7	9	12	15	21	23	32
4	11	21	24	25	33	36
7	11	17	20	22	30	39
2	10	18	27	29	33	38
2	14	17	24	34	35	37
6	9	14	19	25	30	38
1	10	20	28	31	32	36
5	12	16	24	26	29	39
3	8	18	20	23	25	34
7	13	18	26	30	36	37
5	11	14	15	18	22	32
6	13	21	23	29	35	39
3	11	12	19	28	35	37
1	5	9	17	25	31	33
1	2	8	16	21	27	30
6	10	12	15	22	33	34
4	12	14	16	23	31	38
3	10	17	26	32	38	39
4	7	13	15	20	28	29
7	14	19	23	27	33	36
8	9	20	24	29	32	37
2	9	15	26	28	30	35
11	16	25	27	31	34	37
5	7	8	10	19	21	24
1	12	13	17	18	22	24
2	6	17	21	26	31	36
9	13	16	20	33	35	38
3	8	14	28	29	31	39
4	6	22	27	32	37	38

Todennäköisyys saada tällä rivistöllä neljästä seitsemään oikein on 7 716 435 / 15 380 937 eli noin 0,5017.

Mikäli lotossa halutaan aina saada vähintään neljä oikein, voidaan toimia seuraavasti. Jaetaan ensin luvut 1–39 kahteen suurin piirtein yhtä suureen osajoukkoon. Tällöin huonoimmassakin tapauksessa jompaan kumpaan osajoukkoon osuu vähintään neljä arvottua lukua. Seuraavaksi muodostetaan lottorivistöt, jotka sisältävät kaikki mahdolliset lukunelikot kummastakin osajoukosta. Osoittautuu edulliseksi valita ensimmäiseen osajoukkoon luvut 1–23. Tällöin nimittäin rivistö voidaan muodostaa siten, että kukin lukunelikko esiintyy vain kerran. Lukujoukosta voidaan muodostaa C(23,4) = 8855 lukunelikkoa. Lottorivi sisältää C(7,4) = 35 nelikkoa. Tarvittava rivimäärä on siis 8855:35 = 253. Rivit saadaan vaivattomasti käymällä järjestyksessä läpi kaikki ko. lukujoukosta muodostetut C(23,7) = 245 157 riviä ja poimimalla mukaan ne, jotka sisältävät 35 uutta lukunelikkoa. Pienemmästä lukujoukosta 24–39 (16 lukua) lukunelikot voidaan poimia esim. seuraavasti. Lukujoukosta laaditut C(16,7) = 11 440 lottoriviä käydään läpi 35 kertaa siten, että ensimmäisellä kierroksella mukaan otetaan ne, jotka sisältävät kukin 35 uutta lukunelikkoa. Seuraavalla kerralla hyväksytään ne rivit, jotka sisältävät 34 uutta lukunelikkoa jne. Näin saadaan yhteensä 96 riviä. Rivien yhteismäärä on siten 253 + 96 = 349. Käyttämällä näitä rivejä saadaan jokaisessa arvonnassa vähintään neljä oikein. Todennäköisyys saada tällä rivistöllä vähintään viisi oikein on kuitenkin vasta 2 913 442 : 15 380 937 eli noin 0,19. Lisäksi pienemmästä lukujoukosta 24–39 muodostettua rivistöä voidaan pienentää ainakin neljällä rivillä käyttämällä edellä kuvattua tehokkaampaa menetelmää. Seuraavassa kuitenkin mainitut 349 riviä:

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 8 9 10 11 1 2 3 12 13 14 15 1 2 3 16 17 18 19 1 2 3 20 21 22 23 1 2 4 8 12 16 20 1 2 4 9 13 17 21 1 2 4 10 14 18 22 1 2 4 11 15 19 23 1 2 5 8 13 18 23 1 2 5 9 12 19 22 1 2 5 10 15 16 21 1 2 5 11 14 17 20 1 2 6 8 14 19 21 1 2 6 9 15 18 20 1 2 6 10 12 17 23 1 2 6 11 13 16 22 1 2 7 8 15 17 22 1 2 7 9 14 16 23 1 2 7 10 13 19 20 1 2 7 11 12 18 21 1 3 4 8 13 19 22 1 3 4 9 12 18 23 1 3 4 10 15 17 20 1 3 4 11 14 16 21 1 3 5 8 12 17 21 1 3 5 9 13 16 20 1 3 5 10 14 19 23 1 3 5 11 15 18 22 1 3 6 8 15 16 23 1 3 6 9 14 17 22 1 3 6 10 13 18 21 1 3 6 11 12 19 20 1 3 7 8 14 18 20 1 3 7 9 15 19 21 1 3 7 10 12 16 22 1 3 7 11 13 17 23 1 4 5 8 9 14 15 1 4 5 10 11 12 13 1 4 5 16 17 22 23 1 4 5 18 19 20 21 1 4 6 8 11 17 18 1 4 6 9 10 16 19 1 4 6 12 15 21 22 1 4 6 13 14 20 23 1 4 7 8 10 21 23 1 4 7 9 11 20 22 1 4 7 12 14 17 19 1 4 7 13 15 16 18 1 5 6 8 10 20 22 1 5 6 9 11 21 23 1 5 6 12 14 16 18 1 5 6 13 15 17 19 1 5 7 8 11 16 19 1 5 7 9 10 17 18 1 5 7 12 15 20 23 1 5 7 13 14 21 22 1 6 7 8 9 12 13 1 6 7 10 11 14 15 1 6 7 16 17 20 21 1 6 7 18 19 22 23 1 8 9 16 18 21 22 1 8 9 17 19 20 23 1 8 10 12 15 18 19 1 8 10 13 14 16 17 1 8 11 12 14 22 23 1 8 11 13 15 20 21 1 9 10 12 14 20 21 1 9 10 13 15 22 23 1 9 11 12 15 16 17 1 9 11 13 14 18 19 1 10 11 16 18 20 23 1 10 11 17 19 21 22 1 12 13 16 19 21 23 1 12 13 17 18 20 22 1 14 15 16 19 20 22 1 14 15 17 18 21 23 2 3 4 8 14 17 23 2 3 4 9 15 16 22 2 3 4 10 12 19 21 2 3 4 11 13 18 20 2 3 5 8 15 19 20 2 3 5 9 14 18 21 2 3 5 10 13 17 22 2 3 5 11 12 16 23 2 3 6 8 12 18 22 2 3 6 9 13 19 23 2 3 6 10 14 16 20 2 3 6 11 15 17 21 2 3 7 8 13 16 21 2 3 7 9 12 17 20 2 3 7 10 15 18 23 2 3 7 11 14 19 22 2 4 5 8 11 21 22 2 4 5 9 10 20 23 2 4 5 12 15 17 18 2 4 5 13 14 16 19 2 4 6 8 10 13 15 2 4 6 9 11 12 14 2 4 6 16 18 21 23 2 4 6 17 19 20 22 2 4 7 8 9 18 19 2 4 7 10 11 16 17 2 4 7 12 13 22 23 2 4 7 14 15 20 21 2 5 6 8 9 16 17 2 5 6 10 11 18 19 2 5 6 12 13 20 21 2 5 6 14 15 22 23 2 5 7 8 10 12 14 2 5 7 9 11 13 15 2 5 7 16 18 20 22 2 5 7 17 19 21 23 2 6 7 8 11 20 23 2 6 7 9 10 21 22 2 6 7 12 15 16 19 2 6 7 13 14 17 18 2 8 9 12 15 21 23 2 8 9 13 14 20 22 2 8 10 16 19 22 23 2 8 10 17 18 20 21 2 8 11 12 13 17 19 2 8 11 14 15 16 18 2 9 10 12 13 16 18 2 9 10 14 15 17 19 2 9 11 16 19 20 21 2 9 11 17 18 22 23

2 10 11 12 15 20 22 2 10 11 13 14 21 23 2 12 14 16 17 21 22 2 12 14 18 19 20 23 2 13 15 16 17 20 23 2 13 15 18 19 21 22 3 4 5 8 10 16 18 3 4 5 9 11 17 19 3 4 5 12 14 20 22 3 4 5 13 15 21 23 3 4 6 8 9 20 21 3 4 6 10 11 22 23 3 4 6 12 13 16 17 3 4 6 14 15 18 19 3 4 7 8 11 12 15 3 4 7 9 10 13 14 3 4 7 16 19 20 23 3 4 7 17 18 21 22 3 5 6 8 11 13 14 3 5 6 9 10 12 15 3 5 6 16 19 21 22 3 5 6 17 18 20 23 3 5 7 8 9 22 23 3 5 7 10 11 20 21 3 5 7 12 13 18 19 3 5 7 14 15 16 17 3 6 7 8 10 17 19 3 6 7 9 11 16 18 3 6 7 12 14 21 23 3 6 7 13 15 20 22 3 8 9 12 14 16 19 3 8 9 13 15 17 18 3 8 10 12 13 20 23 3 8 10 14 15 21 22 3 8 11 16 17 20 22 3 8 11 18 19 21 23 3 9 10 16 17 21 23 3 9 10 18 19 20 22 3 9 11 12 13 21 22 3 9 11 14 15 20 23 3 10 11 12 14 17 18 3 10 11 13 15 16 19 3 12 15 16 18 20 21 3 12 15 17 19 22 23 3 13 14 16 18 22 23 3 13 14 17 19 20 21 4 5 6 8 12 19 23 4 5 6 9 13 18 22 4 5 6 10 14 17 21 4 5 6 11 15 16 20 4 5 7 8 13 17 20 4 5 7 9 12 16 21 4 5 7 10 15 19 22 4 5 7 11 14 18 23 4 6 7 8 14 16 22 4 6 7 9 15 17 23 4 6 7 10 12 18 20 4 6 7 11 13 19 21 4 8 9 10 12 17 22 4 8 9 11 13 16 23 4 8 10 11 14 19 20 4 8 12 13 14 18 21 4 8 15 16 17 19 21 4 8 15 18 20 22 23 4 9 10 11 15 18 21 4 9 12 13 15 19 20 4 9 14 16 17 18 20 4 9 14 19 21 22 23 4 10 12 14 15 16 23 4 10 13 16 20 21 22 4 10 13 17 18 19 23 4 11 12 16 18 19 22 4 11 12 17 20 21 23 4 11 13 14 15 17 22 5 6 7 8 15 18 21 5 6 7 9 14 19 20 5 6 7 10 13 16 23 5 6 7 11 12 17 22 5 8 9 10 13 19 21 5 8 9 11 12 18 20 5 8 10 11 15 17 23 5 8 12 13 15 16 22 5 8 14 16 20 21 23 5 8 14 17 18 19 22 5 9 10 11 14 16 22 5 9 12 13 14 17 23 5 9 15 16 18 19 23 5 9 15 17 20 21 22 5 10 12 16 17 19 20 5 10 12 18 21 22 23 5 10 13 14 15 18 20 5 11 12 14 15 19 21 5 11 13 16 17 18 21 5 11 13 19 20 22 23 6 8 9 10 14 18 23 6 8 9 11 15 19 22 6 8 10 11 12 16 21 6 8 12 14 15 17 20 6 8 13 16 18 19 20 6 8 13 17 21 22 23 6 9 10 11 13 17 20 6 9 12 16 20 22 23 6 9 12 17 18 19 21 6 9 13 14 15 16 21 6 10 12 13 14 19 22 6 10 15 16 17 18 22 6 10 15 19 20 21 23 6 11 12 13 15 18 23 6 11 14 16 17 19 23 6 11 14 18 20 21 22 7 8 9 10 15 16 20 7 8 9 11 14 17 21 7 8 10 11 13 18 22 7 8 12 16 17 18 23 7 8 12 19 20 21 22 7 8 13 14 15 19 23 7 9 10 11 12 19 23 7 9 12 14 15 18 22 7 9 13 16 17 19 22 7 9 13 18 20 21 23 7 10 12 13 15 17 21 7 10 14 16 18 19 21 7 10 14 17 20 22 23 7 11 12 13 14 16 20 7 11 15 16 21 22 23 7 11 15 17 18 19 20

24 25 26 27 28 29 30 24 25 26 31 32 33 34 24 25 26 35 36 37 38 24 27 28 31 32 35 36 24 27 28 33 34 37 38 24 29 30 31 32 37 38 24 29 30 33 34 35 36 25 27 29 31 33 35 37 25 27 29 32 34 36 38 25 28 30 31 33 36 38 25 28 30 32 34 35 37 26 27 30 31 34 35 38 26 27 30 32 33 36 37 26 28 29 31 34 36 37 26 28 29 32 33 35 38 24 25 27 30 31 34 39 24 25 28 29 32 33 39 24 26 27 29 35 37 39 24 26 28 30 36 38 39 25 26 31 32 35 36 39 25 26 33 34 37 38 39 27 28 31 32 37 38 39 27 28 33 34 35 36 39 24 29 31 33 36 38 39 27 30 32 33 35 38 39 24 30 32 34 36 37 39 25 28 29 34 35 38 39 26 28 30 31 33 37 39 25 27 29 30 36 37 39 27 28 29 30 31 32 33 27 28 30 35 36 37 38 31 32 33 34 35 36 38 26 29 30 31 32 34 39 24 28 31 34 35 37 39 24 25 26 27 32 38 39 24 25 28 29 31 35 38 24 26 27 29 31 33 36 24 26 28 30 31 33 35 25 26 27 28 33 34 35 24 25 27 30 32 33 35 24 25 28 29 33 36 37 25 26 27 28 31 32 37 25 26 29 30 33 34 38 25 29 30 31 32 35 36 26 27 29 32 34 35 37 24 26 28 32 34 36 38 24 25 27 31 34 36 37 29 32 35 36 37 38 39 24 25 30 33 35 37 39 26 27 28 29 36 38 39 27 29 30 33 34 37 39 25 26 28 30 34 36 39 30 31 34 36 37 38 39 24 25 32 33 35 37 38 24 25 26 29 31 34 38 25 26 29 30 35 37 38 25 28 32 33 36 37 39 27 28 29 31 32 33 34 26 27 31 33 36 38 39 26 28 29 30 35 36 39 24 26 27 32 34 35 39 24 26 28 30 32 34 37 25 26 27 33 34 35 36 31 32 33 34 35 36 37 24 27 29 30 35 36 38 25 28 30 32 34 38 39 25 26 27 28 31 37 38 26 29 31 33 35 37 39 24 26 31 32 33 37 39 24 27 29 32 34 36 39 24 28 29 30 34 37 38 25 27 28 29 31 35 39 24 25 26 29 30 32 36 24 25 31 34 35 38 39 27 29 30 31 33 37 38 24 25 27 30 33 38 39 24 27 28 29 30 37 39 25 26 30 31 32 36 38 25 27 28 30 31 34 36 28 29 32 33 35 36 37 30 31 32 33 34 35 39 26 28 32 35 37 38 39 24 25 26 36 37 38 39 25 27 30 31 35 37 38 25 29 32 34 35 37 38 24 25 27 28 31 34 38 24 25 28 31 35 36 39 24 25 30 31 33 36 39 24 26 27 33 34 38 39 24 26 28 30 32 33 36 25 26 27 29 30 38 39 24 25 26 29 30 32 35 24 25 27 30 32 34 37 24 28 30 33 34 38 39 25 29 31 34 35 37 39 24 25 26 33 36 37 38

Tehokkaampi tapa on muodostaa lottorivistö, joka sisältää kaikki lukunelikot luvuista 1–39. Käydään jälleen 35 kertaa läpi kaikki 15 380 937 lottoriviä kuten edellä ja poimitaan kullakin kierroksella sopivat rivit. Nyt saadaan kaikkiaan 3889 riviä. Näillä saadaan huonoimmassa tapauksessa tulos, jossa 35 rivillä on neljä oikein, toisin sanoen arvotussa lottorivissä olevat 35 nelikkoa löytyvät kaikki joltakin riviltä. Tämän menetelmän tehokkuus on 35:3889 eli noin 1:112 kun se edellisessä tapauksessa oli 1:349.

84 riviä

Pelattaessa yhdellä rivillä voitolle neljästä seitsemään oikein suotuisia rivejä on 184 241 koko 15 380 937 joukosta. Lukujen suhde on 83,4827. Eli jos voiton todennäköisyys kasvaisi lineaarisesti rivimäärän funktiona, niin 84 rivillä pitäisi saada aina voitto. Näin ei kuitenkaan ole johtuen rivien välille pakostakin muodostuvasta päällekkäisyydestä. Rivistö on kuitenkin mahdollista laatia ainakin siten, että 1590 riviparin välillä on yksi yhteinen luku, 1224 riviparin välillä kaksi yhteistä lukua ja 37 riviparin välillä kolme yhteistä lukua. Todennäköisyys saada neljästä seitsemään oikein tällaisella rivistöllä on 11 182 566 / 15 380 937 eli noin 0,7270.

92 riviä

Käymällä kaikki lottorivit läpi ja hyväksymällä aina sellainen rivi, jolla on korkeintaan kaksi yhteistä lukua kunkin edellisen hyväksytyn rivin kanssa, saadaan 92 riviä. Monirivisemmässä systeemissä riviparien välillä alkaa jo esiintyä välttämättä päällekkäisyysastetta kolme.

Tietokoneohjelma voittoisien rivien määrän laskemiseksi

Alla olevalla Microsoft Visual Basic -ohjelmalla voidaan tutkia oman lottorivistön voittoisuus. Oma rivistö on tässä levyasemalla D tekstitiedostona Lotto.txt. (Windowsin Muistio tallentaa automaattisesti tässä muodossa.) Ohjelma voidaan ajaa esimerkiksi Microsoftin Wordissa:

• Paina Alt ja F8
• Kirjoita Macro name: Lotto
• Kirjoita tai liitä ohjelmakoodi (heittomerkillä ' alkavat kommentit voi jättää pois)
• Suorita ohjelma painamalla sivun ylälaidassa tykökalurivillä olevaa Play-näppäintä (oikealle osoittava kolmio, Run Sub/UserForm)

Dim R, C As Integer
Dim I, J As Integer
Dim J1, J2, J3, J4 As Integer
Dim K1, K2, K3, K4 As Integer
Dim L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7 As Integer
Dim K As Double
R = 2  ' Omien pelirivien määrä, esimerkiksi 2
C = 39 ' Lottonumeroiden määrä
ReDim N(C - 3, C - 2, C - 1, C) As Integer ' Nelikkotaulukko
ReDim M(R, 7) As Integer ' Pelirivistö
Dim V(7) As Integer ' Lottorivi
' Luetaan pelirivistö tiedostosta
Open "D:\Lotto.txt" For Input As #1
For I = 1 To R
For J = 1 To 7
    Input #1, M(I, J)
Next J, I
Close 1
' Merkataan pelirivistössä olevat lukunelikot
For I = 1 To R ' Käydään läpi kaikki rivit
For J1 = 1 To 4
For J2 = J1 + 1 To 5
For J3 = J2 + 1 To 6
For J4 = J3 + 1 To 7
    L1 = M(I, J1):L2 = M(I, J2):L3 = M(I, J3):L4 = M(I, J4)
    N(L1, L2, L3, L4) = 1 ' nelikon merkkaus lukuarvolla 1
Next J4, J3, J2, J1
Next I

' Käydään läpi kaikki lottorivit ja merkataan voittoisat
For L1 = 1 To C – 6
For L2 = L1 + 1 To C - 5
For L3 = L2 + 1 To C - 4
For L4 = L3 + 1 To C - 3
For L5 = L4 + 1 To C - 2
For L6 = L5 + 1 To C - 1
For L7 = L6 + 1 To C
    V(1) = L1: V(2) = L2: V(3) = L3: V(4) = L4
    V(5) = L5: V(6) = L6: V(7) = L7
    For J1 = 1 To 4       ' Tutkitaan onko lottorivissä
    For J2 = J1 + 1 To 5  ' samoja nelikoita kuin
    For J3 = J2 + 1 To 6  ' omassa pelirivistössä
    For J4 = J3 + 1 To 7
        K1 = V(J1): K2 = V(J2): K3 = V(J3): K4 = V(J4)
        If N(K1, K2, K3, K4) = 1 Then
            K = K + 1 ' Päivitetään voittojen määrää
            GoTo 10   ' Löytyi ainakin yksi nelikko, joten
        End If        ' ei tutkita loppuja
    Next J4, J3, J2, J1
10 Next L7, L6, L5, L4, L3, L2, L1
' Tulostetaan voittoisien rivien lukumäärä
MsgBox (K)