Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 69:
== Värähdysliike ==
=== Harmoninen oskillaattori ===
Yksinkertaisessa harmonisessa oskillaattorissa on yksi vapausaste ''x'', joka voi olla esim. jousen venymä tasapainopituuteen nähden tai heilurin poikkeama tasapainoasemasta. Vapausasteeseen vaikuttaa palauttava voima, joka on suoraan verrannollinen muuttujaan ''x'', mutta vastakkaismerkkinen:
<math>F = -kx</math> .
Tällaista voiman riippuvuutta poikkeamasta kutsutaan ''Hooken laiksi'', ja vakio ''k'' on ''Hooken vakio''. Laki voidaan ilmoittaa myös muodossa
<math>V(x) = \frac{1}{2}kx^2</math>,
jossa ''V(x)'' on oskillaattorin potentiaalienergia muuttujan ''x'' funktiona.
Koordinaatin ''x'' aikariippuvuus voidaan ratkaista ''differentiaaliyhtälöstä''
<math>m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -kx(t)</math>
jonka ratkaisu on
<math>x(t) = A\sin \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + B\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)</math> .
Vakiot ''A'' ja ''B'' riippuvat vapausasteen ''x'' alkuarvosta ''x(0)'' ja alkunopeudesta ''x'(0)'' (funktion ''x(t)'' aikaderivaatta hetkellä t = 0) kaavojen
<math>A = \sqrt{\frac{m}{k}}x'(0)</math>, <math>B = x(0)</math>
mukaisesti. Harmonisen oskillaattorin ratafunktio ''x(t)'' on siis sini/kosinifunktion tapainen.
Monissa tilanteissa mekaanisia objekteja, kuten jousia tai heilureita voidaan mallintaa harmonisina oskillaattoreina, mikäli niiden venymät tai poikkeamat ovat riittävän pieniä. Esim. matemaattinen tai fysikaalinen heiluri on pienillä heilahdusamplitudeilla melko tarkasti harmonisen oskillaattorin tapainen, mutta suurempien amplitudien tapauksessa liikeradan ratkaiseminen on monimutkaisempaa, ja tällöin funktion ''x(t)'' esittämiseen tarvitaan trigonometrisia funktioita harminaisempaa erikoisfunktiota (elliptinen integraali).
Mikäli jokin fysikaalinen systeemi koostuu useista harmonisista oskillaattoreista, joilla on vapausasteet <math>x_1 , x_2, x_3, \dots</math> ja joiden kaikkien väliset voimat riippuvat lineaarisesti niiden etäisyyksistä toisistaan, voidaan aina tehdä jako ''normaalimoodeihin'', jolloin jotkin muuttujien <math>x_i</math> ''lineaarikombinaatiot'' (vakioilla painotetut summat) noudattavat kukin riippumattomien harmonisten oskillaattoreiden liikeyhtälöitä. Tällaisella kytkettyjen harmonisten oskillaattorien mallilla voidaan laskea likimääräisesti esim. moniatomisten molekyylien värähtelytaajuuksia.
=== Vaimennettu harmoninen värähtely ===
| |||