Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 51:
<math> F = ma </math>.
Koska kiihtyvyys ''a'' yhdessä ulottuvuudessa on ''x''-koordinaatin toinen derivaatta ajan ''t'' suhteen, saadaan kappaleen sijainti ''x(t)'' ratkaistua integroimalla kahdesti:
<math>\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = \frac{F}{m}</math> <math>\Big |\Big | \int</math>
<math>\frac{d x(t)}{dt} = \frac{Ft}{m}+C</math> <math>\Big |\Big | \int</math>
<math>x(t) = \frac{Ft^2}{2m}+Ct+D</math>
missä ''C'' on kappaleen nopeus ja ''D'' sen sijainti hetkellä ''t=0''.
Toinen tapaus, jossa liikeyhtälon <math>F=ma</math> pystyy ratkaisemaan suoraan integroimalla, on tilanne jossa voima <math>F</math> tiedetään ajan funktiona <math>F=F(t)</math>.
'''Tehtävä:''' Kappaleeseen, jonka massa on ''m'', vaikuttaa ajasta riippuva voima, jonka suuruus on <math>F(t)=F_0 \sin\left(\omega t\right)</math>. <math>F_0</math> ja <math>\omega</math> ovat vakioita. Laske kappaleen rata ''x(t)'', kun alkunopeus ja -sijainti ovat ''x(0)=0'' ja ''v(0)=0''.
Yleisemmässä tapauksessa kappaleeseen vaikuttavaa voimaa <math>F</math> ei tiedetä suoraan ajan funktiona, vaan se on ilmoitettu esim. paikan ''x'' ja nopeuden ''v'' funktiona. Yksi esimerkki tällaisesta on vakiovoiman ajama liike, johon kohdistuu nopeuteen verrannollinen ilmanvastus:
<math> F = F_{const} - bv</math> ,
jossa ''b'' on positiivinen vakio. Tällöin liikeyhtälö on funktion ''x(t)'' derivaattojen avulla kirjoitettuna
<math>m\frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F_{const} - b\frac{dx(t)}{dt}</math>.
Tällaista ongelmaa kutsutaan ''differentiaaliyhtälöksi'', eikä sitä pysty ratkaisemaan suoraan integroimalla yhtälön molempia puolia kahdesti. Toinen esimerkki tällaisesta tapauksesta on myöhemmin käsitelty ''harmoninen oskillaattori''.
===Mekaniikan III peruslaki eli voiman ja vastavoiman laki (myös Newtonin III laki)===
| |||