|
===Mekaniikan II peruslaki eli dynamiikan peruslaki (myös Newtonin II laki)===
Newtonin II laki kertoo, miten voiman <math>\mathbf{F}</math> vaikutus näkyy kappaleen liikkeessä. Voima on tämän lain mukaan yhtä suuri, kuin kappaleen liikemäärän <math>\mathbf{p} = m\mathbf{v}</math> (massan ja nopeuden tulo) muutosnopeus:
Voima synnyttää liikemäärän muutoksia ("pallot"), ja liikemäärän muutokset synnyttävät voimaa ("virtaukset"). Siksi tässä laissa riittää miettimistä, jos haluaa tietää että mikä on syy ja mikä on seuraus. Aina kun syy ja seuraus tapahtuvat samaan aikaan, niin on vaikea sanoa, että kumpi aiheutti kumman.
<math>\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}(t)}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt}</math> .
Hiukkasjoukkoon eli massaan (jäykkä kappale tai virtaus) vaikuttava voima yrittää muuttaa massan liikemäärää. Neljä erilaista esimerkkitapausta:
Yleensä kappaleiden massa pysyy vakiona, jolloin voidaan kirjoittaa
1) Painovoima kiskoo omenaa alaspäin. Koska omenan massa on vakio, niin sen vauhti kiihtyy jos voimaa ei vastusteta. Nopeuden suunta on koko ajan sama kuin voiman suunta eli alaspäin.
<math>\mathbf{F} = m\mathbf{a} = m\frac{d^2 \mathbf{r}(t)}{dt^2}</math> .
2) Lentokoneen siipi sysää reitillään olevan ilman alaspäin suuntautuvaan liikkeeseen. Reaktiovoima nostaa konetta. Reaktiovoiman synnyttää paine-ero siiven ylä- ja alapinnan välillä. Tässäkin voima syntyy lähinnä nopeuden muutoksesta. Koska virtauksessa ei ole jäykkää kappaletta kuten esimerkissä 1), niin massan sijasta käytetään tiheyttä.
Tapauksiin, joissa massa on ajan funktio, kuuluu esim. raketin liike, jossa massa pienenee polttoaineen kuluessa.
3) Veneen tai lentokoneen potkuri antaa edessään olevalle massalle lisää vauhtia virtauksen suunnan pysyessä lähes ennallaan. Sama kuin esim. 2), mutta tässä muuttuu nopeus eikä suunta, siivessä oli toisin päin.
4) Biljardipallot törmäävät epäkeskeisesti. Nopeuden lisäksi suunta muuttuu.
Kaikissa ylläolevissa esimerkeissä liikemäärä säilyy, koska se säilyy aina. Kaava kertoo riippuvuussuhteen, mutta ei syy/seuraus- suhdetta:
<math> F(t) = \frac{\operatorname{d}(mv)}{\operatorname{d}t}= ma(t)</math>
Kun kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima, eli kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien summa, on erisuuri kuin nolla, kappale on kiihtyvässä liikkeessä. Mitä suurempi on kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima, sitä suurempi kiihtyvyys kappaleella on. Vastaavasti mitä suurempi kappaleen massa on, sitä pienempi on kappaleen kiihtyvyys. Newtonin yhtälössä esiintyvä massa on kappaleen hidas massa. Hidas massa kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
Edellinen yhtälö on Newtonin II laki tapauksessa, jossa massa pysyy vakiona. Suhteellisuusteoriassa massa muuttuu nopeuden funktiona, eli Newtonin II laki pitää esittää muodossa <math> F(t) = \frac{\operatorname{d}mv}{\operatorname{d}t}</math> - suppea suhteellisuusteoria ei siis ole ristiriidassa Newtonin II lain kanssa. Massa voidaan pitää vakiona pienillä nopeuksilla (suhteessa valonnopeuteen), koska suhteellisuusteorian vaikutus on tuolloin pieni. Puhutaankin ongelman ratkaisemisesta klassisesti, ts. relativistiset efektit ovat mitättömiä. Toinen tapaus, jossa kappaleen massa on ajan funktio, on rakettimoottorin ajama liike jossa massa pienenee polttoaineen vähetessä.
Tilanne, jossa kappaleeseen kohdistuu vakiovoima, sekä massa on vakio, on vuorovaikutusten erityistapaus. Tällöin kappaleen kiihtyvyys on vakio:
<math> F\mathbf{a} = ma\frac{\mathbf{F}}{m} </math>.
Koska kiihtyvyys ''a'' yhdessä ulottuvuudessa on ''x''-koordinaatin toinen derivaatta ajan ''t'' suhteen, saadaan kappaleen sijainti ''x(t)'' ratkaistua integroimalla kahdesti:
<math>x(t) = \frac{Ft^2}{2m}+Ct+D</math>
missä ''C'' on kappaleen nopeus ja ''D'' sen sijainti hetkellä ''t=0''. Jos liike on kolmiulotteista, on vakioiden ''F'', ''C'' ja ''D'' ja muuttujan ''x'' tilalla vektorit <math>\mathbf{F}</math>, <math>\mathbf{C}</math>, <math>\mathbf{D}</math> ja <math>\mathbf{x}</math>:
<math>\mathbf{x}(t) = \frac{\mathbf{F}t^2}{2m}+\mathbf{C}t+\mathbf{D}</math>
Toinen tapaus, jossa liikeyhtälon <math>F=ma</math> pystyy ratkaisemaan suoraan integroimalla, on tilanne jossa voima <math>F</math> tiedetään ajan funktiona <math>F=F(t)</math>.
'''Tehtävä:''' Näytä sijoittamalla, että ylläolevan liikeyhtälön ratkaisu on <math>x(t) = \frac{Ft}{b}-Ae^{-\frac{bt}{m}}+B</math>, missä ''A'' ja ''B'' ovat vakioita. Mitä nopeudelle tapahtuu, kun <math>t\rightarrow \infty</math> ?
Filosofisesti tarkasteltuna ei ole aivan selvää, kuuluisiko Newtonin II lakia pitää varsinaisena luonnonlakina, vai onko se ennemminkin vain määritelmä sille, mitä "voima" tarkoittaa. Jos Newtonin II lakia pidetään määritelmänä, on klassisen mekaniikan teorian varsinainen sisältö muissa laeissa, kuten Newtonin III laissa ja gravitaatiolaissa, sekä sähköstatiikan Coulombin laissa.
===Mekaniikan III peruslaki eli voiman ja vastavoiman laki (myös Newtonin III laki)===
| 