Ero sivun ”Klassinen mekaniikka” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 187:
Energian säilyminen ei näennäisesti toteudu esim. ilmanvastuksen tai kitkan vaimentamassa liikkeessä, tai jos voimakentän <math>\mathbf{F}(x,y,z,t)</math> lauseke sisältää eksplisiittisen riippuvuuden aikamuuttujasta ''t''. Tällöin syynä on kuitenkin se, että kaikkia vapausasteita (esim. väliaineena olevan ilman happi- ja typpimolekyylien liiketilat) ei oteta huomioon systeemin mallinnuksessa.
==Lagrangen mekaniikka==
Newtonin lakeihin perustuvassa mekaniikassa kappaleiden kiihtyvyydet pääteltiin niihin kohdistuvista voimista, joiden laskemiseen oli olemassa jokin tunnettu menetelmä. Toinen tapa esittää mekaniikan lait on ''Lagrangen mekaniikka'', jossa voiman käsitettä ei tarvita lainkaan ja kaikki laskelmat tehdään energiasuureiden avulla. Lagrangen mekaniikan antamat tulokset ovat kuitenkin samoja, mitä voimiin perustuvilla menetelmillä saadaan.
'''Vapausasteet'''
Lagrangen mekaniikassa kappaleiden sijainnit annetaan yleistettyinä koordinaatteina <math>q_i</math>, joiden ei ole pakko olla karteesisia xyz-koordinaatteja. Esim. yhdessä ulottuvuudessa kulkevan massapisteen ainoa vapausaste on ''x''-koordinaatti: <math>q_1 = x</math>. Kolmessa ulottuvuudessa liikkuvan massapisteen vapausasteet taas ovat ''x''-, ''y''- ja ''z''-koordinaatit: <math>q_1 = x</math>, <math>q_2 = y</math>, <math>q_3 = z</math>.
Yksi esimerkki muista kuin karteesisista vapausasteista on tasolla liikkuvan massan sijainnin esitys napakoordinaateissa: <math>q_1 = r</math>, <math>q_2 = \theta</math>.
Vapausasteiden muutosnopeuksille käytetään Lagrangen mekaniikassa merkintöjä <math>\frac{dq_i}{dt} = \dot{q}_i</math>.
'''Lagrangen funktio'''
Systeemille, jonka kineettinen ja potentiaalienergia ovat joitain vapausasteiden <math>q_i</math> ja niiden muutosnopeuksien <math>\dot{q}_i</math> funktioita, ''Lagrangen funktio'' <math>L</math> määritellään
<math>L(q_i , \dot{q}_i ) = E_k (q_i , \dot{q}_i ) - E_p (q_i , \dot{q}_i )</math> .
Esim. jos kappale, jonka massa on ''m'', liikkuu ''xy''-tasossa ja siihen vaikuttaa positiivisen ''y''-akselin suuntainen vakiovoima <math>F_y</math>, on Lagrangen funktio
<math>L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m\dot{y}^2 + F_y y</math> ,
sillä kineettinen energia on <math>E_k = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m\dot{y}^2</math> ja potentiaalienergia <math>E_p = -F_y y</math>.
Jos taas systeemissä on massapiste, joka on rajoitettu kiertämään kaksiulotteisen ''xy''-koordinaatiston origoa etäisyydellä ''r'', ja johon vaikuttaa negatiivisen ''y''-akselin suuntainen voima <math>F_y</math>, voidaan ainoaksi vapausasteeksi valita napakulma <math>\theta</math>. Kulmakoordinaatin avulla esitetyt energiasuureet ovat:
<math>E_k = \frac{1}{2}mr^2 \dot{\theta}^2</math>
<math>E_p = F_y r \sin \theta</math> .
'''Lagrangen liikeyhtälöt'''
Kun Lagrangen funktio tiedetään, voidaan kullekin vapausasteelle <math>q_i</math> laskea ''Lagrangen liikeyhtälöt'', jotka ovat
<math>\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = 0</math>
Edellämainitussa kaksiulotteisessa tasossa liikkuvalle kappaleelle, johon vaikuttaa ''y''-akselin suuntainen voima, liikeyhtälöiksi saadaan tästä
<math>m\ddot{x} = 0</math>
<math>m\ddot{y} = F_y</math> .
Ympyrän kehällä vakiovoimakentässä liikkuvalle massapisteelle puolestaan saadaan vapausasteen <math>\theta</math> liikeyhtälö
<math>mr^2 \ddot{\theta} = -F_y r \cos \theta</math> .
'''Tehtävä''': Pistemassa ''m'' liikkuu ''xy''-tasossa siten että sen potentiaalienergia riippuu ainoastaan etäisyydestä origoon: <math>E_p = \frac{1}{2}k(r-r_0 )^2</math>. Muodosta liikeyhtälöt vapausasteille <math>r</math>, <math>\theta</math>.
'''Tehtävä''': Etsi jostain tietoa siitä, mikä on ''vaikutusintegraali'' ja mikä sen fysikaalinen merkitys on.
'''Lagrangen mekaniikan hyödyt'''
Mekaniikan laskuissa esiintyy usein ongelmia, joissa kappale on rajoitettu kulkemaan jollain pinnalla tai käyrällä ja siihen vaikuttavat ''sidosvoimat'' estävät sen pääsyn muihin pisteisiin. Yksi esimerkki on kappaleen liukuminen kaltevalla tasolla, jossa oletetaan että kappale ei voi upota alustaan. Monesti sidosvoimien laskenta voi kuitenkin olla vaivalloista, ja tällöin saattaa olla helpompaa määritellä systeemille yleistetyt vapausasteet siten että sidosehtojen vastaiset pisteet eivät edes ole mahdollisia, ja ratkaista sen jälkeen liikeyhtälöt Lagrangen mekaniikalla.
== Värähdysliike ==
| |||