Matematiikka/Pinta-ala

Tässä luvussa käsittelemme pinta-alaa.

Pinta-ala

Pinta-ala on tietyn muotoisen alueen kaksiulotteisen pinnan koko. Pinta-alan tunnuksena käytetään A-kirjainta. Pinta-alan perusyksikkö on neliömetri (tunnus $m^{2}$). Aari- ja hehtaari-sanoja käytetään neliödeka- ja neliöhehtometreistä.

Pinta-alaa mitataan usein mittaamalla alueen mitta ja laskemalla pinta-ala näiden mittojen avulla. Pieniä alueita mitataan viivaimella tai mittanauhalla, mutta suurempia voidaan mitata esimerkiksi maanmittauslaitteistolla. (Katso pinta-alojen laskemisesta tarkemmin eri kuvioiden pinta-alakaavat.)

Muuntotaulukko

Kun neliön sivu kaksinkertaistuu, sen pinta-ala nelinkertaistuu (2² = 4). Yleisemmin: kun tiedetään pituusyksikköjen suhde, saadaan sen toisena potenssina vastaavien pinta-alayksiköiden suhde. Kun esimerkiksi yksi maili on 1,609 344 kilometriä, on vastaavasti yksi neliömaili 1,609 334² ≈ 2,589 988 neliökilometriä.

Pituuden kerrannaisyksiköt

Yksikön nimi	Yksikön tunnus	Suhde neliömetriin
Neliömillimetri	mm²	0,000001 neliömetristä
Neliösenttimetri	cm²	0,0001 neliömetristä
Neliödesimetri	dm²	0,01 neliömetristä
Neliömetri	m²	1 neliömetri
Aari (neliödekametri)	a (dam²)	100 neliömetriä
Hehtaari (neliöhehtometri)	ha (hm²)	10 000 neliömetriä
Neliökilometri	km²	1 000 000 neliömetriä

SI-järjestelmässä kerrannaisyksiköillä ilmoitetaan yksikön kerrannaisuutta, esimerkiksi etuliite kilo tarkoittaa tuhatkertaista. Pinta-alayksiköissä on kuitenkin huomattava, että kerrannaisyksikkö neliöityy, eli km² tarkoittaa km × km eikä k(m × m).

${\rm {cm^{2}=(cm)^{2}=c^{2}m^{2}=(10^{-2})^{2}m^{2}=10^{-4}m^{2}=0,\!0001\,m^{2}}}$

Suorakulmion pinta-alan määrittäminen

Mittaa sekä suorakulmion kanta (leveys) että korkeus ja kerro ne toisillaan. Esimerkki suorakulmio on 5 cm leveä ja 2 cm korkea. Kerrot ne keskenään ja saat tulokseksi 10 cm². Suunnikkaan pinta-alan voi laskea samalla kaavalla, mutta suunnikkaan korkeus ei ole sama kuin suunnikkaan vino sivu. Jos suorakulmio on neliö, niin sen pinta-alasta voidaan päätellä sivun pituus. Esimerkiksi neliönmuotoisen lentokentän pinta-ala on 16 km². Sivun pituudeksi saadaan 4 km, koska 4 km * 4 km = 16 km². Neliön pinta-ala on sivun pituuden neliö. Jos siis neliön sivun pituus on 6 cm, sen pinta-ala on (6 cm)², eli 36 cm².

Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-ala: $A=l\cdot w$ (jossa l on pituus ja w on leveys) Neliön pinta-ala: $A=s^{2}$, jossa s on sivu

Kolmion pinta-alan laskeminen

Kerro kolmion leveys ja korkeus keskenään ja jaa tulos kahdella. Esimerkiksi kolmion korkeus on 5 cm ja leveys 8 cm, jotka keskenään kerrottuna antavat tuloksen 40 cm². Tämä jaetaan vielä kahdella ja saadaan kolmion pinta-alaksi 20 cm².

$A={\frac {B\ \cdot h}{2}}$ (jossa B on kannan pituus ja h on korkeus)

Ympyrän pinta-ala

Ympyrän pinta-ala on ympyrän säteen neliö kerrottuna piillä. Esimerkiksi ympyrän säde on 7 cm, joka itsellään kerrottuna on 49 cm², ja tämä vielä kerrottuna piillä (pii on noin 3,14) antaa tuloksen 153,86 . Ympyrän pinta-alaa ei voi koskaan määritellä täsmällisen tarkasti, vaan se on aina likiarvo, koska piin tarkkaa arvoa ei voi käyttää laskemisessa. (Kysymys: Miksi on likiarvo ja miksi ei voi käyttää? Havainnollista graafisesti käyttämällä ympyrää ja neliötä eli kerro lapsille mikä on ympyrän pinta-alan suhde neliön pinta-alaan. Asiat menevät perille paremmin, kun niissä on järkeä eikä vain ylhäältä annettuja selittämättömiä "totuuksia").

$\pi \cdot r^{2}$ (jossa r on säde)

Puolisuunnikkaan pinta-ala

Puolisuunnikas. Toinen sivu voi olla puolisuunnikkaassa myös suora.

Puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan kertomalla yhdensuuntaisten sivujen keskiarvo korkeudella.

${\frac {a+b}{2}}\cdot h$, jossa a ja b yhdensuuntaiset sivut ja h korkeus.

Muita pinta-alan yksiköitä

Muita pinta-alan yksiköitä ovat muun muassa neliöjalka (noin 0,093 m²) ja eekkeri (noin 0,4047 ha). Yksi hehtaari on 2,471053815 eekkeriä.

Tehtäviä

Maalaa vastaukset hiirellä saadaksesi ne näkyviin (valitse hiirellä piilotettu teksti kysymyksen perästä).

Suorakulmio ja suunnikas

• Suorakulmion korkeus on 8 cm ja pituus 5 cm. Mikä on suorakulmion pinta-ala? V: 40 cm²
• Neliön sivun pituus on 5 cm. Laske neliön pinta-ala. V: 25 cm²
• Neliön pinta-ala on 16 m². Mikä on sen sivun pituus? V: 4 m
• Suunnikkaan kanta on 6 cm ja korkeus 7 cm. Laske suunnikkaan pinta-ala. V: 42 cm²
• Suunnikkaan sivujen pituudet ovat 8 cm ja 4 cm. Suunnikkaasta voi leikata leveydeltään suurimmillaan 6 cm suorakulmion. Laske suunnikkaan pinta-ala käyttäen Pythagoraan lausetta. V: n. 28 cm²
• Kuution särmän pituus on 4 cm. Laske kuution pinta-ala. V: 96 cm²

Kolmio

• Mikä on suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jos kolmion leveys on 5 m ja korkeus 10 m? V: 25 m²
• Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 5 cm, 7 cm ja 11 cm. Mikä on suorakulmaisen kolmion pinta-ala? Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu. V: 35 cm²
• Kolmion joka sivu on 6 cm pitkä. Laske kolmion pinta-ala käyttäen apuna Pythagoraan lausetta. V: 15,6 cm²
• Suorakulmaisen kolmion eräs terävä kulma on 46 astetta ja hypotenuusa on 4 cm. Laske kolmion ala käyttäen apuna trigonometrisiä funktioita. V: n. 4 cm²

Ympyrä

• Mikä on ympyrän pinta-ala, jos ympyrän säde on 3 m? V: noin 28 m²
• Laske ympyrän ala, kun sen säde on 6,2 km. V: noin 121 km²
• Laske donitsin ala, kun sen säde on 8 cm ja reiän halkaisija on 4 cm. V: noin 188 cm²

Puolisuunnikas

• Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 6 cm ja 10 cm. Kuvion korkeus on 5 cm. Laske kuvion pinta-ala. V: 40 cm²
• Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 6 cm ja 8 cm. Puolisuunnikkaan ei-yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 4 cm. Mikä on puolisuunnikkaan pinta-ala? V: n. 28 cm²

Aiheesta muualla

• muunnin.com