Matematiikka/Yhtälöt

Tämä luku käsittelee yhtälöitä.

Mikä on yhtälö

Yhtälö on kahdesta puolesta koostuva merkitty yhtäsuuruus, jossa on tuntematon luku x. Merkitty yhtäsuuruus tarkoittaa sitä, että yhtälö sisältää yhtäsuuruusmerkin. Kaksi puolta tarkoittavat yhtälön kahta eri puolta: yhtäsuuruusmerkistä katsottuna vasen ja oikea puoli. Esimerkki yhtälöstä: $x+3=7$, $x=5$, $2k=6$. ($2k=2\cdot k$)

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälöä ei pidä ratkaista arvaamalla, eli ratkaisun kertomalla selvittämättä sitä. Vaikka ratkaisun tietääkin, sitä ei saa kertoa välivaiheitta. Yhtälönratkaisun tavoitteena on aina heittää x:t toiselle ja numerot toiselle puolelle. Tässä esimerkki oikeasta yhtälönratkaisutavasta:

$x+5=7$

$x=7-5$

$x=2$

Tulos on x = 2. Yhtälön keskirivillä +5 heitettiin toiselle puolelle, jolloin siitä tuli -5. Toinen tapa ajatella tämä on se, että yhtälöön voi lisätä asioita, jos lisätään molemmille puolille sama asia. Jos lisätään molemmille puolille -5, vasemmalla puolella +5 ja -5 kumoavat toisensa ja -5 tulee oikealle puolelle. Toinen esimerkki:

$x-6=8$

$x=8+6$

$x=14$

x on 14. -6 heitettiin toiselle puolelle, jolloin siitä tuli +6.

$-4-x=5$

$-x=5+4$

$-x=9$

$x=-9$

Tässä on huomattava, että -x:n miinus ei katoa mihinkään, kun -4 heitetään toiselle puolelle. Lopussa molemmat kerrottiin -1:llä, jolloin miinus x:stä siirtyi toiselle puolelle ja 9:stä tuli -9. Neljäs esimerkki (huomaa, että $4\cdot x=4x$):

$3x+5=5x-7$

$3x-5x=-7-5$

$-2x=-12$

$x=6$

x:t vasemmalle ja numerot oikealle puolelle. Viimeisenä molemmat puolet jaettiin -2:lla, kertolaskusta tulee jakolasku. Viides esimerkki:

${\frac {x}{5}}=3$

$x=3\cdot 5$

$x=15$

Jakolasku muuttuu kertolaskuksi, kun molemmat puolet kerrotaan viidellä. Huomaa, että kun molemmat puolet kerrotaan viidellä, kaikki tekijät kerrotaan viidellä.

${\frac {x}{3}}-2=x-8$

$x-6=3x-24$

$-2x=-18$

$x=9$

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälöllä yleensä kaksi ratkaisua. Toisen asteen yhtälön standardimuoto on $ax^{2}+bx+c=0$. Toisen potenssin kumoaa neliöjuuri. Siis

$x^{2}=9\ \ \ \ \ \ \parallel {\sqrt {}}$ Merkitään neliöjuuren lisäämistä molemmille puolelle pystyviivoin. Koska termiä b ei ole, standardimuotoon siirtymistä ei tarvitse tehdä.

$x=\pm {\sqrt {9}}$ Myös -3 toteuttaa yhtälön; $(-3)^{2}=9.$ Neliöjuuri ei voi saada negatiivisia arvoja, eikä juurrettava voi olla negatiivinen.

$x=-3\ {\text{tai}}\ x=3$

$2x^{2}=32\ \ \ \ \parallel :2$ Kertoimen tässä oltava 1.

$x^{2}=16\ \ \ \ \parallel {\sqrt {}}$

$x=-4\ {\text{tai}}\ x=4$

$2x^{2}+4x=0$ Otetaan yhteinen tekijä x.

$x(2x+4)=0$ Jaetaan x:llä.

$2x+4=0$

$2x=-4$

$x=-{\frac {1}{2}}$

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, kun yhtälö on täydellinen: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x^{2}+x-6=0$

Merkitään ja sijoitetaan $a=1,b=1,c=-6$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)}}}{2\cdot 1}}$

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {25}}}{2}}$

$x={\frac {-1\pm 5}{2}}$

$x=-3\ {\text{tai}}\ x=3$

Yhtälön ratkaisut ovat siis yhtälön vasemman puolen muodostaman toisen asteen polynomifunktion nollakohtia. Nollakohta on kohta, jolla suora leikkaa x-akselin eli silloin funktion arvo on 0. Funktion arvo asetetaan nollaksi yhtälönratkaisun ensimmäisessä vaiheessa, jossa yhtälö muutetaan standardimuotoon (joskus se on jo standardimuodossa eikä muutos ole pakollinen). Siis tuon paraabelin nollakohdat ovat x=-3 ja x=3.

Yhtälön vasemman puolen muodostaman paraabelin huippu voidaan laskea nollakohtien keskiarvona, koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suhteen. Siis tämän huipun x-koordinaatti on 0. y-koordinaatti saadaan selville sijoittamalla $x=0$:

$0^{2}+0-6=-6$

Siis paraabelin huipun koordinaatit ovat $(0,-6)$.

Näissä yhtälöissä ei aina kahta ratkaisua, koska joskus yhtälön toisen puolen muodostamalla paraabelilla on vain yksi nollakohta tai ei nollakohtia lainkaan.

$x^{2}-{\frac {2}{3}}x+{\frac {1}{9}}=0\ \ \ \ \ \parallel \cdot 9$ Yhtälön voi ratkaista myös suoraan kaavalla, mutta kokonaisluvuilla ratkaiseminen on helpompaa.

$9x^{2}-6x+1=0$

Merkitään ja sijoitetaan $a=9,b=-6,c=1$

$x={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}-4\cdot 9\cdot 1}}}{2\cdot 9}}$

$x={\frac {6\pm {\sqrt {0}}}{18}}$

$x={\frac {6}{18}}={\frac {1}{3}}$ Siis kun diskriminaatti $b^{2}-4ac$ on nolla, nollakohtia vain yksi.

$2x^{2}+2x+5=0$

Merkitään ja sijoitetaan $a=2,b=2,c=5$

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4\cdot 2\cdot 5}}}{2\cdot 2}}$

$x={\frac {-2\pm {\sqrt {-36}}}{4}}$ Neliöjuuressa ei voi olla negatiivista lukua (kun lasketaan reaaliluvuilla). Siis kun diskriminaatti $b^{2}-4ac$ negatiivinen, ei nollakohtia.

Vastaus: Ei reaalisia ratkaisuja.

Koska parametri a on positiivinen, yhtälön vasemman puolen muodostama funktio $2x^{2}+2x+5$, joka on paraabeli (koska se on toisen asteen polynomifuktio) on ylöspäin aukeava. Paraabelilla ei ole nollakohtia, koska funktiosta muodostetulla standardimuotoisella yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja. Paraabeli siis on koko ajan x-akselin yläpuolella ja sen huipun y-koordinaatti on positiivinen.

Tehtäviä

Maalaa tehtävä nähdäksesi vastauksen.

1. Ratkaise yhtälö x + 5 = 9. x = 4
2. Ratkaise yhtälö 9 - x = 8. x = 1
3. Ratkaise yhtälö 2x = 8. x = 4
4. Ratkaise yhtälö 2x + 3 = 17. x = 7
5. Ratkaise yhtälö 4x - 2 = 14. x = 4
6. Ratkaise yhtälö 2x - 6 = 5x - 15. x = 3
7. Ratkaise yhtälö ${\frac {x}{3}}=5$. x = 15
8. Ratkaise yhtälö ${\frac {x}{2}}-4=-11+x$. x = -14
9. Ratkaise yhtälö $x^{2}=36$. x = -6 tai x = 6
10. Ratkaise yhtälö $2x^{2}=162$. x = -9 tai x = 9
11. Ratkaise yhtälö $6x^{2}-x-1=0$. x = -1/3 tai x = 1/2
12. Ratkaise yhtälö $(x-3)^{2}=3$. x = 3 - sqrt(3) tai x = 3 + sqrt(3). Sqrt merkitsee siis neliöjuurta.