Ero sivun ”Analyysin perusteet” versioiden välillä
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 20:
=== Funktiot ja raja-arvot ===
==
Derivaatta kuvaa funktion kulkua. Geometrisesti määriteltynä derivaatan arvo onkin funktion kuvaajalle tiettyyn pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Täten seuraa loogisesti, että derivaatan ollessa epänegatiivinen (positiivinen tai nolla) on alkuperäinen funktio kasvava, ja vastaavasti funktio on vähenevä, kun sen derivaatta saa epäpositiivisia arvoja. Funktio, joka on joko kasvava tai vähenevä, on monotoninen. Derivaatan nollakohdat ovat tärkeitä funktion kulun tutkimisessa, sillä noissa pisteissä funktio saavuttaa mahdollisesti joko globaalin tai lokaalin ääriarvon.
Yhden muuttujan tapuksessa funktion <math>f\!</math> derivaattafunktiota merkitään yläpilkulla <math>f'\!</math>.
Monotonisuuden lisäksi on olemassa sitä tiukempi kulun muoto: aito monotonisuus. Funktio on aidosti kasvava (vähenevä), joss sen derivaatta on epänegatiivinen (-positiivinen) ja nolla vain erillisissä pisteissä. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että funktion f arvot suurenevat (vähenevät) argumentin eli muuttujan saamien arvojen suuretessa.
<math>f'(x)>0, x \in [a,b] \quad \Leftrightarrow \quad f(a)<f(b)</math>
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona
<math>f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>
Funktion f kuvaajalle pisteiden (a,f(a)) ja (a+h,f(a+h)) kautta piirretty sekantti muuttuu rajankäynnissä tangentiksi.
=== Derivointisääntöjä ===
* <math>D k = 0, \quad k \!</math> on vakio
* <math>D kf=kDf\!</math>
* <math>D (f+g)=Df+Dg\!</math>
* <math>D fg =
* <math>D \frac{f}{g} = \frac{
* <math>D g(f(x))=g'(f(x))f'(x)\!</math>
* <math>(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\!</math>, missä <math>y_0=f(x_0)\!</math>
Viimeisestä kaavasta huomautettakoon, ettei funktion käänteisfunktiolla ole derivaattaa alkuperäisen funktion derivaatan nollakohdissa.
== Funktion integrointi ==
| |||