Matematiikka/Geometriset muodot

Tämä luku käsittelee geometrisiä muotoja.

Piste

Piste on yksinkertaisin geometrinen kuvio. Sen pituutta tai muita ominaisuuksia ei voi laskea. Sitä käytetään esim. kolmion kärkipisteenä. Pistettä ei pidä sekoittaa ympyrään.

Suora ja jana

Suora jatkuu loputtomiin. Tässä yksi suora, joka on yksi geometrian yksinkertaisimmista kuvioista. Jana on samanlainen, mutta se ei jatku loputtomiin, ja sillä on päätepisteet. Puolisuoralla on yksi päätepiste.

Tämä kuva esittää yhdensuutaisia suoria.

Tämä video kuvastaa keskinormaalin piirtämistä janalle harpin avulla. Harpin keskikohdan on siis oltava janan päätepisteissä, joista tehdään ympyrä, joka ylettyy hieman yli janan keskipisteen. Ympyröiden tulee olla samankokoisia. Keskinormaalin ja suoran väliset kulmat ovat 90 astetta.

Suorakulmio

Molemmissa kuvissa on suorakulmio. Sillä on kaksi tai neljä yhdensuuntaista sivua. Myös neliö, jonka kaikki sivut ovat yhdensuuntaisia, on suorakulmio. Suorakulmion pinta-ala lasketaan kaavalla $A=ah$, jossa a on kanta ja h korkeus. Neliön pinta-ala lasketaan kaavalla $A=s^{2}$, jossa s on sivu.

Kolmio

Kuvassa tasasivuinen kolmio, jonka kaikki kulmat ovat 60 astetta. Kolmion kulmien summa on aina 180 astetta.

Kuvan kolmio on tylppäkulmainen sen yhden yli 90-asteisen kulman vuoksi. Kolmiossa voi olla enintään yksi tylppä kulma, koska kulmien summa on 180 astetta. Tällöin siihen ei mahdu kahta yli 90 asteen kulmaa.

Tasakylkinen kolmio, jolla on kaksi yhtä suurta kulmaa ja kaksi yhtä pitkää sivua.

Suorakulmainen kolmio. Kolmioon pätee ylempänä esitetyt trigonometriset funktiot ja alempana näkyvä Pythagoraan lause. Lisätietoja: Trigonometria. Sivuista a ja b ovat kateetteja ja c hypotenuusa, joka on kolmion pisin sivu.

Kaikkien kolmioiden ala lasketaan kaavalla ${\frac {a\cdot h}{2}}$, jossa a kanta ja h korkeus. Suorakulmaisissa kolmioissa korkeus h on yhtä suuri kuin ylläolevan kolmion kateetti a.

Ympyrä

Ympyrässä sädettä merkitsee r, halkaisijaa d ja kehää/ympärysmittaa/piiriä c (vaihtoehtoinen tunnus p). Keskipiste on O. Ympyrään pätee seuraavat kaavat: $A=\pi \cdot r^{2}$ ja $p=2\cdot \pi \cdot r$. Koska $d=2\cdot r$, $p=\pi \cdot d$. Ympyrän sektorin kaaren tai pinta-alan voi laskea kertomalla koko ympyrän pinta-alan sektorin keskuskulman suhteella täyskulmaan: esimerkiksi sektorin pinta-ala on $A_{s}={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}\cdot \pi r^{2}$.

Lieriö

Kaikki kolme ovat lieriöitä. Ensimmäinen on kuutio, toinen suorakulmainen särmiö ja kolmas ympyrälieriö, joista kaikki täyttävät lieriön määritelmän: samanlaiset katto ja pohja, seinät suoraan katosta pohjaan. Lieriön tilavuus on $V=A_{p}\cdot h$, jossa $A_{p}$ pohjan ala ja h korkeus. Kuutioon, joka on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus, pätee $V=s^{3}$, jossa s on sivu ja yleisesti suorakulmaiseen särmiöön $V=abc$, jossa a, b ja c on sivut. Ympyrälieriön vaipan ala lasketaan kaavalla $A_{v}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h$, jossa r säde ja h korkeus.

Kartio

Kuvassa on kartio. Kartiolla on aina pohja ja seinät, jotka menevät suoraan huipulle. Kuvassa oleva kartio on pyramidi. Kartion tilavuus lasketaan kuin lieriön tilavuus, mutta se tulee jakaa kolmella. Kaava on siis $V={\frac {A_{p}\cdot h}{3}}$.

Pallo

Kuvassa on koripallo, joka kuuluu palloihin. Pallon tilavuus lasketaan kaavalla $V={\frac {4\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}}$ ja ala kaavalla $A=4\cdot \pi \cdot r^{2}$.