Differentiaaliyhtälöt/Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt


Differentiaaliyhtälöt

Johdanto | Johdatus differentiaaliyhtälöihin | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt | Lisää esimerkkejä (muokkaa)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

muokkaa

Tässä luvussa käsitellään differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy funktioiden korkeintaan ensimmäisiä derivaattoja. Luvussa esitellään erityyppiset differentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisukaavat sekä esimerkkejä. Lisäksi otetaan kantaa ratkaisuiden olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen.

Terminologiaa

muokkaa

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa vastaan tulee yleensä kahdenlaisia tehtäviä. Jotta ratkaisusta voisi saada täydet pisteet, tulee noudattaa seuraavia ohjeita:

  • Ratkaise differentiaaliyhtälö   tarkoittaa sitä, että on etsittävä kaikki derivoituvat funktiot  , jotka toteuttavat annetun DY:n. Ratkaisuja on yleensä äärettömän monta, mikä johtuu lähes aina integrointivakion mielivaltaisesta valinnasta. Ts. vastaukseksi haetaan yleistä yhtälöä, ei erikoistapausta.
  • Ratkaise alkuarvotehtävä
 
tarkoittaa sitä, että on etsittävä jokin derivoituva funktio  , joka toteuttaa annetun DY:n sekä alkuehdon. Ratkaisuna olevan funktion määrittelyvälissä   voi olla pieni tai suuri luku. Määrittelyjoukon on oltava avoin väli, sillä funktion derivoituvuus on määritelty aina avoimella välillä. Huomaa, että määrittelyjoukon ei tarvitse olla äärellinen väli. Myös positiivinen ja negatiivinen ääretön voivat olla välin avoimia päätepisteitä. Jos ratkaisu on olemassa, se on yksikäsitteinen.

Esimerkki 1

muokkaa

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

 

Ensimmäisenä selvitetään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle. Tässä vaiheessa käytössämme ei vielä ole kummoisia työkaluja. DY:n kummankin puolen integrointi johtaa umpikujaan, mutta ratkaisu voidaan aina yrittää arvata! Tehdään sivistynyt arvaus[1], että  , jolloin

 
Esimerkki 1: Ratkaisu on funktio  ,  

 .

Ja kuinka ollakaan, arvattu ratkaisu toteuttaa annetun DY:n! Mutta emme saa unohtaa integrointivakiota! Jos arvattuun ratkaisuun summataan mikä tahansa vakio, toteuttaa myös tämä funktio DY:n. Siis yleinen ratkaisu on  , missä   on vakio. Seuraavaksi käytetään alkuehtoa, jotta alkuarvotehtävä toteutuisi. Sijoitetaan yleiseen ratkaisuun  , eli:

 

Integrointivakio on ratkaistu, joten jäljelle jää enää päätellä vastauksena olevan funktion määrittelyjoukko (väli). Funktio   on määritelty joukossa  , mutta tämä joukko ei ole väli vaan kahden avoimen välin yhdiste.[2] Valitaan määrittelyjoukoksi  , sillä se sisältää alkuehdon määräämän pisteen ( ).

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

muokkaa

Määritelmä 1: lineaarinen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Ensimmäisen kertaluvun DY on lineaarinen, jos se on muotoa

 ,

missä   ovat jatkuvia funktioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö   on lineaarinen. Huomaa, että funktioiden   ja   ei tarvitse olla lineaarisia.[3]

Määritelmä 2: homogeeninen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on homogeeninen, jos  .

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö   on homogeeninen, mutta   ei ole.

Määritelmä 3: vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on vakiokertoiminen, jos funktiot   ja   ovat vakioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö   on vakiokertoiminen.

Kaikki ensimmäisen kertaluvun DY:t eivät suinkaan osu em. kategorioihin. Lisäksi DY voi olla homogeeninen ja vakiokertoiminen yhtä aikaa. Tämä onkin yksinkertaisin vastaan tuleva differentiaaliyhtälö.

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen DY ratkaistaan seuraavasti:

muokkaa
Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
 ,
missä   on vakio. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa pätee sama kuin tavallisten yhtälöidenkin: yhtälön kummankin puolen voi kertoa tai jakaa millä tahansa nollasta eroavalla luvulla tai funktiolla. Tiedetään, että funktio   kaikilla  .[4] Näin ollen DY voidaan kertoa puolittain tällä eksponenttifunktiolla:
 
Kolmannella rivillä käytettiin tulon derivointisääntöä.[5] Neljäs rivi seuraa kolmannesta suoraan integroimalla yhtälön kumpikin puoli (integrointivakiota   unohtamatta!). Siis lineaarisen, homogeenisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa  . Tästä huomataan, että ratkaisuja on äärettömän monta, koska vakio   on mielivaltainen reaaliluku.

Esimerkki 2

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan  :

 ,

missä   on vakio.

Lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on helpoimmin ratkaistavissa oleva 1. kertaluvun DY. Se ei kuitenkaan vielä riitä suurimpaan osaan lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Tarkastellaan seuraavaksi, miten ratkaistaan astetta monimutkaisempi DY.

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen DY ratkaistaan seuraavasti:

muokkaa
Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
 .
Määritellään aluksi apufunktio (jatkuvan) funktion   määrätyn integraalin avulla:  ,
 .[6]
Derivoidaan apufunktio[7]:
 
DY ratkeaa kertomalla se puolittain apufunktiolla:
 
Kolmannella rivillä käytettiin jälleen tulon derivointisääntöä. Siis lineaarisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa  .

Apufunktiota   kutsutaan ko. differentiaaliyhtälön integroivaksi tekijäksi.

Esimerkki 3

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan  . Ratkaistaan ensin integraali:

 

Nyt voidaan sijoittaa saatu tulos integroivaan tekijään ja saadaan ratkaisu:

 ,

missä   on vakio.

Integroiva tekijä voidaan ilmaista muissakin muodoissa eksponenttifunktioiden ja integraalien laskusäännöistä johtuen:

  • Vakiolla kertominen; integroivaksi tekijäksi kelpaa
 
millä tahansa  ,  .
  • Integrointivälin voi muuttaa. Integroivaksi tekijäksi kelpaa
 
millä tahansa  .

Entäpä sitten, jos DY ei olekaan homogeeninen?

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, yleinen DY ratkaistaan seuraavasti:

muokkaa
Kuten määritelmässä 1 todettiin, ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
 .
Ratkaisussa käytetään samaa apufunktiota (eli integroivaa tekijää) kuin homogeenisen DY:n ratkaisussa:
 
Kerrotaan DY puolittain integroivalla tekijällä, jolloin päädytään lopulta ratkaisuun:
 
Neljännellä rivillä käytettiin jälleen kerran tulon derivointisääntöä. Huomaa, että yhtälön integroiminen (määrätysti) puolittain ei ''hävitä'' derivaattaa![8] Integroiva tekijä liittyy siis yleiseen ratkaisuun kahdessa eri kohdassa. Ratkaisu on hyvin määritelty, sillä funktiot   ja   ovat jatkuvia, joten niiden tulo on myös jatkuvana funktiona kaikkialla integroituva.

Esimerkki 4

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Selvitetään ensimmäisenä integroiva tekijä. Edellä johdetun kaavan nojalla pitää sijoittaa   ja  :

 

DY:n ratkaisu on tällöin:

 

Valitettavasti ratkaisu pysähtyy tähän, sillä integraalilla   ei ole olemassa analyyttistä ratkaisua. Näin ollen vastaus täytyy jättää tähän muotoon.

Lause 1

muokkaa

Jos   ja   ovat jatkuvia vain jollain välillä  , niin DY:n ratkaisu saadaan samalla kaavalla. Jos   ovat jatkuvia ja  , niin alkuarvotehtävällä

 

on tasan yksi ratkaisu  , joka on muotoa

 ,

missä   ja  .

Esimerkki 5

muokkaa

Ratkaistaan DY   alkuehdolla a)   b)  . HUOM! nyt on koko tehtävän ajan  .

Kirjoitetaan DY muodossa

 ,  .[9]

Integroiva tekijä on tällöin:

 

Kerrotaan muokattu DY integroivalla tekijällä:

 

Siis yleinen ratkaisu on  ,  , missä  .

 
Esimerkki 5: alkuarvotehtävän ratkaisu voi riippua hyvinkin voimakkaasti annetusta alkuehdosta.

a) Sijoitetaan ratkaisuun  :

 

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .

b) Sijoitetaan ratkaisuun  :

 

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .

HUOM! Esimerkissä 5 esiintyvä vakio   on peräisin määrätyn integraalin alarajasta.[8] Yhtä hyvin voidaan tehdä seuraavasti:

 

Nyt ratkaisun riippuvuus alkuehdosta tulee helpommin näkyviin.

Separoituvat differentiaaliyhtälöt

muokkaa

Ensimmäinen erikoistapaus epälineaarisissa differentiaaliyhtälöissä on separoituva DY. Tarkastellaan pelkästään normaalimuotoisia DY:itä:

 ,

sillä yleiselle yhtälölle ei ole olemassa eksplisiittistä ratkaisua joitain erikoistapauksia lukuunottamatta.

Määritelmä 4: separoituva differentiaaliyhtälö

muokkaa

Ensimmäisen kertaluvun DY on separoituva, jos se on muotoa

 

missä   ovat jatkuvia funktioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö   on separoituva. Myös kaikki lineaariset, homogeeniset DY:t ovat separoituvia:

 

Separoituva DY ratkaistaan seuraavasti:

muokkaa
Jos   kaikilla  , niin separoituva DY voidaan kirjoittaa muodossa
  (1)
(Vastaavat päätelmät pätevät myös, jos   kaikilla  ). DY:n separointi perustuu derivaatan merkitsemiseen Leibnizin merkintätapaa, jota on jo joissain yhteyksissä käytettykin:
 
Tällöin:
 
  (2)
Resepti yhtälön (1) ratkaisemiseksi on:
  1. Kirjoita yhtälö (1) muodossa (2).
  2. Integroi (2). Muista integrointivakiot!
  3. Ratkaise   integroidusta kaavasta (2).

Esimerkki 6

muokkaa

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

 

Differentiaaliyhtälö on separoituva:   ja  . Tiedetään, että   ja jatkuva kaikilla   (ei kannata valita aluetta  , sillä   ei voi toteuttaa alkuehtoa). Ratkaistaan DY:

 

Käytetään alkuehtoa: kun  , niin  . Sijoitetaan tämä tieto viimeiselle riville:  . Nyt voidaan johtaa DY:n yleinen ratkaisu:

 

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi eri juurta. Mutta kumpi niistä määrittelee ratkaisun? Muistetaan, että alussa oletettiin  . Näin ollen juuri   ei kelpaa. Toisaalta helpompi tapa on käyttää alkuehtoa. Sijoitetaan   ja   ja katsotaan, kumpi juurista toteuttaa yhtälön. Jos kumpikaan ei toteuta yhtälöä, on 2. asteen yhtälö todennäköisesti ratkaistu väärin.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .

Esimerkki 7

muokkaa

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

 

Differentiaaliyhtälö on separoituva:   ja  . Tiedetään, että   ja jatkuva kaikilla   (alkuehto!). Ratkaistaan DY:

 

Alkuehto: kun  , niin  . Tällöin  . DY:n yleinen ratkaisu on tällöin  . Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .

Lause 2

muokkaa

Olkoon   ja   jatkuvasti derivoituvia[10] funktioita sekä   ja  . Tällöin alkuarvotehtävällä

 

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka on määritelty välillä   jollain  . Tällöin:

  1. Jos  , niin ratkaisu on vakiofunktio  .
  2. Jos  , niin ratkaisu voidaan selvittää yhtälöstä
 . ( )

Yksikäsitteisyys todistetaan myöhemmin.

Eksaktit differentiaaliyhtälöt

muokkaa

Tarkastellaan yhtälöä

 , ( )

missä   on funktio siten, että yhtälö ( ) määrittelee  :n  :n funktiona. Luonnontieteissä tämän muotoinen yhtälö on usein jonkin suureen säilymislaki. Derivoidaan yhtälö ( ) puolittain  :n suhteen[12]:

 

Merkitään osittaisderivaattoja seuraavasti:

  ja  

Tällöin saadaan differentiaaliyhtälö, joka on muotoa

 .

Ts. jos   on tämän DY:n ratkaisu ja on olemassa funktio   siten, että

  ( )

toteutuu, niin   saadaan kaavasta ( ).

Määritelmä 5: eksakti differentiaaliyhtälö

muokkaa

Olkoon   ja   jatkuvia funktioita. DY

 

on eksakti, jos on olemassa funktio  , joka toteuttaa ehdon ( ). Tämän DY:n ratkaisu toteuttaa yhtälön ( ) jollekin vakiolle  .

HUOM! Jos on olemassa kaksi funktiota,   ja  , jotka toteuttavat ehdon ( ), niin ne ovat vakiota vaille samat. Ts.   kaikilla  , jollekin  .

Jokainen separoituva DY on myös eksakti: Olkoon   siten, että  . Merkitään:

 

ja valitaan

 

Tällöin

 

Esimerkki 8

muokkaa

Ratkaistaan DY  .

Havaitaan, että

  ja  .

Siis DY on eksakti ja  . DY:n ratkaisu on  , missä   on vakio:

 

Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio  ,  , missä   on vakio.

Seuraavan lauseen avulla voidaan todeta helposti ja nopeasti, onko annettu DY eksakti:

Lause 3

muokkaa

Olkoon   ja  . Tällöin differentiaaliyhtälö   on eksakti, jos ja vain, jos

  ( )

kaikilla  . Funktio   ratkeaa ehdosta

  ( )

HUOM! On tärkeää, että alue   on yhdesti yhtenäinen, eli että siinä ei ole reikiä.

Esimerkki 9

muokkaa

Ratkaistaan DY  .

Merkitään   ja  . Koska

 ,

niin lauseen 3 nojalla DY on eksakti. Tällöin on olemassa funktio   siten, että

 

Integroidaan yhtälö (1) puolittain  :n suhteen:

 

Funktio   on mielivaltainen, vain muuttujasta   riippuva funktio.[14] Osittaisderivoidaan saatu yhtälö puolittain  :n suhteen:

 

Yhtälön (2) nojalla on oltava  , eli  , missä   on vakio. DY:n ratkaisu saadaan kaavasta:

 ,

missä   on vakio. Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.

Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio  ,  .

Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys

muokkaa

Yleinen, normaalimuotoinen alkuarvotehtävä

 

osataan ratkaista eksplisiittisesti vain jossain erikoistapauksissa (pääasiassa, kun  on lineaarinen). Tässä luvussa osoitetaan, että alkuarvotehtävällä on kuitenkin olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollain avoimella välillä  .

Lause 4

muokkaa

Olkoon  ja  ,   siten, että

 

kaikilla  . Tällöin alkuarvotehtävällä

 

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu kaikilla  .

HUOM! Oletus   on välttämätön ehto yksikäsitteisyyden toteutumiselle. Esimerkiksi alkuarvotehtävän

 

( :n osittaisderivaatta  :n suhteen ei ole jatkuva origossa) ratkaisu on funktio  ,

 

mutta niin on myös funktio  ,  .

Ennen lauseen 4 todistusta käydään läpi tärkeä menetelmä ja lemma, joita tarvitaan todistuksessa.

Picardin iteraatio

muokkaa

Lauseen 4 olemassaolo-osion todisukseksi riittää löytää jatkuva funktio   siten, että

 

kaikilla  . Tämä ratkaisu löydetään nk. Picardin iteraatiolla, joka etenee seuraavasti:

  1. approksimaatio: Valitaan  ,  . Tämä funktio ei arvatenkaan toteuta ( ):ä, mutta sillä on jo oikea alkuarvo.
  2. approksimaatio: Valitaan  ,  .
  3. approksimaatio: Valitaan  ,  .
  4. Jatketaan approksimaatioita siten, että jos  , niin  ,  .

Saadaan funktiojono  . Merkitään  . Jäljelle jää kaksi avointa kysymystä:

  1. Suppeneeko funktiojono  ?
  2. Toteuttaako rajafunktio   ehdon ( )?

Palataan näiden kysymysten pariin itse todistuksen yhteydessä seuraavan esimerkin jälkeen.

Esimerkki 10

muokkaa

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

 

käyttäen Picardin iteraatiota. Itse asiassa tämä DY osattaisiin ratkaista jo helpommillakin menetelmillä, sillä DY on lineaarinen, homogeeninen ja vakiokertoiminen. Iteroidaan kuitenkin esimerkin vuoksi. Nyt  ,  .

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Huomataan, että iteraatiot näyttäisivät olevan muotoa

 ,

kun  . Todistetaan tämä induktiotodistuksella. Väite pätee 1. iteraation perusteella, kun  . Oletetaan, että väite on tosi, kun  . Kun  , niin Picardin iteraatio sanoo:

 

Väite on siis tosi. Funktiojono   onkin siis funktiosarja

 .

Mutta suppeneeko funktiosarja ja jos suppenee, niin mihin? Funktiosarja suppenee tasaisesti kaikilla  , jos se suppenee tasaisesti lokaalisti välillä  kaikilla  . Weierstrassin ehdon[15] perusteella tämä pitää paikkansa:

Merkitään  . Tällöin:

 

Sarja  suppenee suhdetestin perusteella:[16]

 ,

kun  . Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis  . Tämä on kuitenkin vain eksponenttifunktion   Taylorin sarjakehitelmä.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio  ,  .


Lemma 1 (Grönwallin lemma)

muokkaa

Ratkaisun olemassaolo on nyt osoitettu. Yksikäsitteisyyden osoittamiseen tarvitsemme seuraavaa lemmaa:

Olkoon  ,  ,  ,   ja   siten, että  . Tällöin

 

kaikilla  .

Alaviitteet

muokkaa
  1. Sivistynyt arvaus kuulostaa kieltämättä joltakin ''jumalaiselta väliintulolta'', mutta niitä oppii kyllä jokainen tekemään ajan kanssa.
  2.  
  3. Funktio   on lineaarinen, jos on olemassa reaaliset vakiot   ja   siten, että  .
  4. Ks. Eksponenttifunktio.
  5. Jos   ja   ovat derivoituvia funktioita, niin:  
  6. Kyseessä on itse asiassa integraalifunktio, sillä funktion muuttuja on sijoitettu määrätyn integraalin rajoihin. Funktion   muuttuja on vaihdettu  :stä  :ksi sekaannuksen välttämiseksi.
  7. Analyysin peruslauseen nojalla välillä   jatkuvalle funktiolle   pätee   kaikilla  .
  8. 8,0 8,1 Analyysin peruslause (tai oikeammin 2. peruslause) toteaa myös, että kaikille välillä   derivoituville funktioille   pätee:  
  9. Muokkaamalla alkuperäistä DY:tä menetetään mahdollisuus, että  . Näin ollen joudutaan valitsemaan ratkaisun määrittelyjoukoksi   tai jokin sen osaväli.
  10. Jatkuvasti derivoituva tarkoittaa funktiota, joka on derivoituva ja sen derivaatta on jatkuva. Jatkossa (yhden kerran) jatkuvasti derivoituvien yhden reaalimuuttujan funktioiden joukkoa merkitään symbolilla  .
  11. Muistetaan yhdistetyn funktion derivointisääntö:  
  12. Koska   on tässä kahden muuttujan funktio, täytyy derivoinnissa soveltaa ketjusääntöä:  
  13. ''Jos ja vain jos'' -lause täytyy aina todistaa kumpaankin suuntaan. Oletukset ja väite vaihtavat paikkoja suunnan muuttuessa.
  14. Funktio   on ikään kuin osittaisderivaatan määrätyn integraalin integroimisvakio: