Differentiaaliyhtälöt/Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt


Differentiaaliyhtälöt

Johdanto | Johdatus differentiaaliyhtälöihin | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt | Lisää esimerkkejä (muokkaa)

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

muokkaa

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy funktioiden toisen kertaluvun derivaattoja. Toisen kertaluvun DY:t ovat yleisesti ottaen vaikeampia ratkaista kuin ensimmäisen kertaluvun. Toisen kertaluvun DY on funktio, joka on muotoa

 .

DY on normaalimuotoinen, jos se on muotoa

 .

Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitetaan tämän aihealueen tarkastelut vain normaalimuotoisiin ja lineaarisiin DY:ihin. Toisen kertaluvun DY:iden ratkaiseminen eroaa ensimmäisen kertaluvun DY:iden ratkomisesta mm. seuraavasti:

  • Yleistä ratkaisukaavaa ei ole.
  • Jokaiselle yhtälötyypille on oma teoriansa.
  • Ratkaisuissa yritetään löytää ns. perusratkaisut, joiden avulla kaikki ratkaisut voidaan muodostaa.

Terminologiaa

muokkaa
  • Ratkaise differentiaaliyhtälö   tarkoittaa sitä, että on etsittävä kaikki derivoituvat funktiot  , jotka toteuttavat annetun DY:n. Ratkaisuja on yleensä äärettömän monta, mikä johtuu lähes aina integrointivakioiden mielivaltaisesta valinnasta. Ts. vastaukseksi haetaan yleistä yhtälöä, ei erikoistapausta.
  • Ratkaise alkuarvotehtävä
 
tarkoittaa sitä, että on etsittävä jokin derivoituva funktio   joka toteuttaa annetun DY:n sekä alkuehdot. Ratkaisuna olevan funktion määrittelyvälissä   voi olla pieni tai suuri luku. Määrittelyjoukon on oltava avoin väli, sillä funktion derivoituvuus on määritelty aina avoimella välillä. Huomaa, että määrittelyjoukon ei tarvitse olla äärellinen väli. Myös positiivinen ja negatiivinen ääretön voivat olla välin avoimia päätepisteitä. Toisen kertaluvun DY:n alkuarvotehtävän ratkaisemiseksi tarvitaan aina kaksi alkuehtoa. Alkuehdot voivat olla joko funktion ja sen derivaatan arvot tietyssä pisteessä (kuten edellä) tai funktion arvot kahdessa eri pisteessä (esim.   ja  ). Jälkimmäisessä tapauksessa alkuarvotehtävää kutsutaan reuna-arvotehtäväksi.

Määritelmä 1: lineaarinen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Toisen kertaluvun normaalimuotoinen DY on lineaarinen, jos se on muotoa

 ,

missä   ovat jatkuvia funktioita joillain  ,  . Muussa tapauksessa DY on epälineaarinen. Toisen kertaluvun epälineaaristen DY:iden teoria on verrattain haastavaa, joten se sivuutetaan tässä osiossa. Epälineaaristenkin DY:iden käsittely helpottuu huomattavasti, jos yhtälössä ei esiinny suoraa riippuvuutta  :stä tai  :stä:

Esimerkki 1

muokkaa

Jos toisen kertaluvun normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö on muotoa

 ,

päästään ratkaisun kimpuun käyttämällä apufunktiota  . Tällöin   toteuttaa yhtälön

 ,

joka on ensimmäisen kertaluvun DY ja siten ratkaistavissa aiemmin opituin menetelmin. Kun   on ratkaistu, saadaan alkuperäisen DY:n ratkaisu integroimalla:

 ,

missä   on integrointivakio.

Määritelmä 2: homogeeninen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Toisen kertaluvun lineaarinen DY on homogeeninen, jos  .

Kuuluisia differentiaaliyhtälöitä

muokkaa

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat erityisesti siitä tärkeitä, että niillä on usein jokin sovellus tai merkitys fysiikassa. Niiden ratkaisut eivät myöskään yleensä ole eksplisiittisiä. Joidenkin DY:iden ratkaisufunktiot ja itse DY:t on nimetty keksijänsä mukaan. Tässä on niistä joitain.

Legendren differentiaaliyhtälö

muokkaa

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

 ,

missä  , kutsutaan Legendren differentiaaliyhtälöiksi. Jos  , niin DY:n ratkaisut ovat nk. Legendren polynomeja.

Besselin differentiaaliyhtälö

muokkaa

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

 ,

missä  , kutsutaan Besselin differentiaaliyhtälöiksi. Jos  , niin DY:n ratkaisut ovat nk. Besselin funktioita.

Hypergeometrinen yhtälö

muokkaa

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

 ,

missä  , kutsutaan hypergeometrisiksi differentiaaliyhtälöiksi. Näiden DY:iden ratkaisut ovat nk. hypergeometrisia funktioita.

Homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen

muokkaa

Lause 1

muokkaa

Olkoon funktiot   ja   homogeenisen differentiaaliyhtälön

 

ratkaisuja. Tällöin myös niiden lineaarikombinaatio

 ,

missä  , on ko. yhtälön ratkaisu.

Määritelmä 3: ratkaisukanta

muokkaa

Funktiot   muodostavat homogeenisen DY:n   ratkaisukannan, jos jokaiselle saman DY:n ratkaisulle   on olemassa vakiot   siten, että

 

kaikilla  .

Ratkaisukanta on siis eräänlainen DY:n perusratkaisuiden joukko, jonka avulla voidaan esittää saman DY:n mikä tahansa muu ratkaisu. Jotta ratkaisukanta   olisi hyvin määritelty, sille pitää olla voimassa seuraavat vaatimukset:

  • Funktioiden   ja   on oltava itse DY:n ratkaisuja (luonnollisestikin!).
  • Funktioiden   ja  on oltava eri funktiot muullakin tapaa kuin vakiota vaille. Esimerkiksi DY:n   ratkaisuja ovat (esimerkiksi) funktiot  ,   ja  . Määritelmän 3 perusteella   on huono valinta ratkaisukannaksi, sillä funktiota   ei voi esittää funktioiden   ja   lineaarikombinaationa. Sen sijaan   on hyvä valinta ratkaisukannaksi.
  • Funktioiden   ja   on siis oltava lineaarisesti riippumattomia.

Määritelmä 4: lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus

muokkaa

Funktiot   ovat lineaarisesti riippuvia (lyhennetään LD, en. Linearly Dependent), jos on olemassa vakiot   siten, että   tai   (tai molemmat) ja

 

kaikilla  . Tämän kanssa yhtäpitävää on se, että on olemassa vakio   siten, että joko   tai   kaikilla  .

Vastaavasti funktiot   ovat lineaarisesti riippumattomia (lyhennetään LI, en. Linearly Independent), jos ehdosta   kaikilla   seuraa, että  .

HUOM! Jos   ja  , niin   ja   ovat väistämättä lineaarisesti riippuvia. Näin ollen nollafunktio ei voi kuulua yhdenkään DY:n ratkaisukantaan.[1]

Esimerkki 2

muokkaa

Osoitetaan, että funktiot  ,   ja   ovat lineaarisesti riippumattomia käyttäen epäsuoraa todistusta. Antiteesi[2]:   ja   ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin on olemassa vakiot   siten, että   tai   ja   kaikilla  . Ts.

 

Derivoidaan yhtälö puolittain:

 

Tämän pitää päteä kaikilla  . Ainoa vaihtoehto on, että  , jolloin  . Tämä on ristiriita, sillä molemmat vakiot eivät saaneet olla nollia. Siis alkuperäinen väite on tosi.

Kahden funktion lineaarisen riippumattomuuden tarkistaminen tai todistaminen esimerkin 2 tapaan on kuitenkin varsin työlästä. Esitetään seuraavaksi menetelmä, jonka avulla voidaan nopeammin todeta lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus.

Määritelmä 5: Wronskin determinantti

muokkaa

Olkoon  . Funktioiden   ja   Wronskin determinantti on (jatkuva) funktio  ,[3]

 

kaikilla  .

Lemma 1

muokkaa

Jos   ja on olemassa luku   siten, että  , niin   ja   ovat lineaarisesti riippumattomia.

HUOM! Lemma 1 ei toimi toisin päin. Ts. jos   ja   ovat lineaarisesti riippumattomia, niin välttämättä ei pidä paikkansa, että   kaikilla  . Esimerkiksi jos  ,

 

ja

 

niin   ja   ovat lineaarisesti riippumattomia, mutta   kaikilla  .

Lause 2

muokkaa

Olkoon funktiot   differentiaaliyhtälön   ratkaisuja. Tällöin ne ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain, jos on olemassa   siten, että  .

Lause 3

muokkaa

Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä[5] lineaarisen, homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuille  :

  1. Funktiot   ja   muodostavat ratkaisukannan.
  2. Funktiot   ja   ovat lineaarisesti riippumattomia.
  3.   jollakin  .
  4.   kaikilla  .

Esimerkki 3

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Suhteellisen helposti voidaan todeta, että funktiot   ja   ovat DY:n eräät ratkaisut. Lisäksi

 

kaikilla  . Tällöin   ja   ovat LI. Kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa

 ,

missä  .

Esimerkki 4

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Suhteellisen helposti voidaan todeta, että funktiot   ja   ovat DY:n eräät ratkaisut. Lisäksi

 .

Tällöin   ja   ovat LI. Kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa

 ,

missä  .

Lause 4

muokkaa

Olkoon   jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälöllä

 

on aina olemassa ratkaisukanta.

Ratkaisukannan löytäminen kertaluvun pudotuksella

muokkaa

Edellisen luvun perusteella homogeenisen differentiaaliyhtälön

 

kaikki ratkaisut löytyvät, jos löydetään kaksi toisistaan lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Tässä luvussa todetaan, että riittää löytää vain yksi ei-triviaali ratkaisu.[1] Koko touhun idea on melko yksinkertainen:


Olkoon   ja   homogeenisen DY:n ratkaisu siten, että   kaikilla  . Etsitään toinen perusratkaisu, joka on muotoa

 

kaikilla   jollekin funktiolle  . Ratkaistaan  :

 

Jaetaan yhtälö puolittain  :llä. Tämä on mahdollista, koska oletettiin, että  kaikilla  . Määritellään lisäksi funktio  ,

 .

Tällöin

 

Merkitään edelleen  :

 

Tiedetään[7], että tämän DY:n eräs ratkaisu on

 .

Siispä

 

Tällöin   on eräs ratkaisu. Ratkaisut   ja   ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomia, sillä

 


Esimerkki 5

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö

 

Havaitaan, että eräs ratkaisu on  :

  ja  , jolloin

 .

Olkoon  . Tällöin   ja  . Olkoon

 

Merkitään  . Tällöin

 

Tällöin

 ,

missä   ovat vakioita. Toinen ratkaisu on tällöin

 


Yhdistetään ratkaisut:

 

Muotoillaan vakioita uudelleen siten, että   ja  . Tällöin ratkaisu on  ,

 


Esimerkki 6

muokkaa

Ratkaistaan 1. asteen Legendren differentiaaliyhtälö ( ):

 

Eräs ratkaisu on  , sillä  ,   ja  .

Olkoon  . Tällöin

 

Koska  , voidaan jakaa yhtälö puolittain  :llä:

 

Merkitään  :

 

Tällöin

 

missä   on vakio. Tehdään funktion   lausekkeelle osamurtokehitelmä:

 

Ratkaistaan  :

 

missä   on vakio. DY:n toinen ratkaisu on tällöin

 

Yhdistetään ratkaisut:

 

Muotoillaan vakioita uudelleen siten, että   ja  . Tällöin ratkaisu on  ,

 .

Vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Tarkastellaan vakiokertoimista homogeenista differentiaaliyhtälöä

 ,

missä   ovat vakioita. Tehdään sivistynyt arvaus, että DY:n ratkaisut ovat muotoa  , missä  . Tällöin huomataan, että

 

Sijoitetaan nämä DY:öön:

 

Siis jos luku   toteuttaa 2. asteen yhtälön ( ), niin   on DY:n ratkaisu. Yhtälöä ( ) sanotaan ko. differentiaaliyhtälön karakteristiseksi yhtälöksi, jonka ratkaisut ovat[8]

  ja  .

Jos  

muokkaa

Jos  , niin saadaan ratkaisut

 

Lisäksi

 ,

sillä  . Lauseen 3 nojalla kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa  ,

 .

Jos  

muokkaa

Jos  , niin saadaan vain yksi ratkaisu  . Toinen ratkaisu löydetään kertaluvun pudotuksella:  . Tällöin

 

Siis  , missä   ovat vakioita. Koska DY:n yleinen ratkaisu syntyy vasta ratkaisujen summasta, voidaan olettaa, että   ja  . DY:n kaikki ratkaisut ovat siis muotoa  ,

 .

Jos  

muokkaa

Jos  , niin piipahdetaan hetkeksi kompleksilukujen maailmaan. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta:

 

Ratkaisut ovat siis

  ja  

Lyhennyssyistä merkitään   ja  . Koska  , niin   ja   ovat molemmat reaalilukuja. Lyhennysmerkintöjä käyttäen ratkaisut ovat

  ja  .

Yleinen ratkaisu voidaan kuitenkin sieventää siten, että se on puhtaasti reaalinen funktio. Eulerin lauseen mukaan   kaikille reaaliluvuille  . Siis

  ja  [9]

Koska   ja   ovat DY:n ratkaisuja, niin lauseen 1 nojalla myös funktiot   ja   ovat ratkaisuja.

 

ja

 

Merkitään   ja  . Lauseen 1 nojalla funktiot   ja  ovat DY:n ratkaisuja. Ne ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomia (todistus: harjoitustehtävä), joten kaikki ratkaisut ovat muotoa  ,

 

Lause 5

muokkaa

Vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön   ratkaisut ovat  ,

  1. Jos  :  , missä   ja  
  2. Jos  :  , missä  
  3. Jos  :  , missä   ja  

sekä   ja   ovat vakioita.

Esimerkki 7

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Kyseessä on vakiokertoiminen DY, jonka karakteristinen yhtälö on  . Karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat

 .

DY:n ratkaisu on siis  ,  .

Yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Tässä kappaleessa osoitetaan, että yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö ratkeaa selvittämällä ensin vastaavan homogeenisen DY:n ratkaisukanta. Tämän jälkeen ratkaistaan DY:n epähomogeenisen osan osaratkaisut. DY:n ratkaisu on näiden kahden vaiheen summa.

Tarkastellaan lineaarista differentiaaliyhtälöä

 ,

missä   ovat jatkuvia funktioita. Havaitaan, että jos funktiot   ja   ovat DY:n ( ) ratkaisuja, niin funktio   on vastaavan homogeenisen DY:n   ratkaisu:

 

Lause 6

muokkaa

Oletetaan, että funktiot   muodostavat lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisukannan ja olkoon   jokin DY:n ( ) ratkaisu. Tällöin DY:n ( ) kaikki ratkaisut ovat muotoa

 

HUOM! Jos   on DY:n   ja   DY:n   ratkaisu, niin   on DY:n   ratkaisu.

Esimerkki 8

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö  . Vastaava homogeeninen DY on  , jonka karakteristinen yhtälö on  . Karakteristisen yhtälön juuret ovat  . Lauseen 5 mukaan homogeenisen DY:n ratkaisu on  , missä   ovat vakioita.

Etsitään epähomogeenisen osan osaratkaisut:

 

DY:n ratkaisu on siis  .

Vakiokertoiminen ei-homogeeninen differentiaaliyhtälö

muokkaa

Mikäli vakiokertoimisessa lineaarisessa differentiaaliyhtälössä   funktio   on tiettyä muotoa, löytyy ratkaisu kokeilemalla. Tämän vuoksi vakiokertoimisten ei-homogeenisten DY:iden ratkaisemista voikin kutsua sivistyneeksi arvaukseksi.

Jos q on polynomi

muokkaa

Olkoon   n. asteen polynomi. Ts. olkoon   ja   siten, että  ,

 .

Arvataan, että epähomogeenisen osan osaratkaisu   on myös n. asteen polynomi. Olkoon   ja

 .

Tällöin

 

Sijoitetaan derivoidut lausekkeet differentiaaliyhtälöön:

 

Yhtälön kummallakin puolella jokaisen asteen monomien kertoimien on oltava yhtä suuret. Saadaan yhtälöryhmä:

 

Toisin sanoen

 

Jäljelle jää ratkaistavaksi yhtälöryhmästä kertoimet  .

Esimerkki 9

muokkaa

Ratkaistaan differentiaaliyhtälön   epähomogeeninen osa. Nyt   on 2. asteen polynomi, joten arvataan, että ratkaisu on 2. asteen polynomi  . Derivoidaan arvaus:

 

Sijoitetaan nämä DY:öön:

 

Saadaan yhtälöryhmä

 

Yhtälöryhmän ratkaisu on

 

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis  .

Jos q on eksponenttifunktio

muokkaa

Olkoon   eksponenttifunktio. Ts. olkoon   siten, että